3．2.3 直线与平面的夹角学 习 目 标核 心 素 养1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角．(重点、难点) 通过空间线面角提升学生的数学运算、逻辑推理素养.1．直线和平面所成的角思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？[提示] 不是．直线和平面的夹角为.2．最小角定理1．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于( )A．120° B．60°C．30° D．以上均错C [ 设 直 线 l 与 平 面 α 所 成 的 角 为 θ ， 则 sin θ ＝ |cos 120°| ＝ ， 又 0<θ≤90°，∴θ＝ 30°.]2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则直线 l与平面 α 所成的角为( )A．30° B．60° C．120° D．150°A [由 cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为|90°－120°|＝30°.]13．如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )A. B.C. D.B [以 D 为原点，DA，DC，DD1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E，所以DB＝(1,1,0)，DE＝，易得平面 BDE 的法向量 n＝(1，－1,2)，而BA1＝(0，－1,1)，∴cos〈n，BA1〉＝＝，∴〈n，BA1〉＝.∴直线 A1B 与平面 BDE 所成角为＝.]用向量求直线与平面所成的角【例 1】 已知三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 分别是 PB，BC 的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求 SN 与平面 CMN 所成的角的大小．[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算CM，SN的数量积，证明(1)；求出平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．[解] 如图，设 PA＝1，以 A 为原点，直线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)证明：CM＝，SN＝，因为CM·SN＝－＋＋0＝0，所以 CM⊥SN.(2)NC＝，设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量．由 a·CM＝0，a·NC＝0，得令 x＝2，得 a＝(2,1，－2)， |cos〈a，SN〉|＝＝，∴SN 与平面 CMN 所成角为 45°.用...
