3.2.2 双曲线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养. (1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质．(2)用多媒体展示几组焦点在 x 轴、y 轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美．(3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点( － a, 0) ，( a, 0) (0 ，－ a ) ，(0 ， a ) 轴长实轴长＝2 a ，虚轴长＝2 b 离心率e ＝ >1 渐近线y＝±xy ＝ ± x 思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？[提示] 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e＝.3．直线与双曲线的位置关系将 y＝kx＋m 与－＝1 联立消去 y 得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.Δ 的取值位置关系交点个数k＝±时相交只有一个交点k≠±且 Δ＞0有两个交点k≠±且 Δ＝0相切只有一个交点k≠±且 Δ＜0相离没有公共点1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线－＝1 的焦点在 y 轴上．( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )(3)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．( )[提示] (1)× (2)√ (3)×2．若等轴双曲线的一个焦点是 F1(－6,0)，则它的标准方程是( )A．－＝1 B．－＝1C．－＝1D．－＝1B [由条件知，等轴双曲线焦点在 x 轴上，可设方程为－＝1，a2＋a2＝62，解得 a2＝18，故方程为－＝1.]3．已知点(2,3)在双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C 的焦距为 4，则它的离心率为________．2 [由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得 a＝1，b＝，∴e＝2.]4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝x，则 a＝________.5 [ 双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x.又双曲线的一条渐...
