3.2.2 对数的运算性质课堂导学三点剖析一、对数的运算性质【例 1】 若 a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数为（ ）①logax+logay=loga(x+y)；②logax-logay=loga(x-y)；③loga=logax÷logay；④loga(x·y)=logax·logay，A.0 B.1 C.2 D.3解析：这 4 个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.答案：A温馨提示 例题中列出的四种错误，由于与我们以前所学的运算相近，因而是极容易犯的错误类型.利用对数的性质进行计算每一步都要仔细，想一想有没有依据，这样才能有效地减少错误的发生.二、对数运算性质的应用【例 2】求值：3.解法一：设3=x,则()x=3,即()x=()3,∴x=3.∴3=3.解法二：3=()3=3.解法三：3=3+=()2+=2+1=3.温馨提示 解法一是利用对数定义得解的，而解法二与解法三是利用对数运算性质公式得解.通过比较显然可知，用好性质会大大简化运算过程.三、求含有已知条件的对数式的值【例 3】 已知 18a=9,18b=5，用 a、b 表示 log3645.解法一：由已知可得 log189=a,log185=b,∴log3645====.解法二：log189=a,∴=a,=b.∴log23=,log25=.∴log3645===.温馨提示 解法一虽然简单，但不具一般性，变形技巧性较强；而解法二根据 18、9、5、45、36的质因数是 2、3、5，而采用其中一个数为底，把条件、结论换底而得.由此可看出，合理地依据题意，将问题转换，找到其中的联系是解决此类问题的关键.各个击破类题演练 1下面给出四个式子（a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y）logax·logay=loga(x+y);logax+logay=loga(x+y);loga=loga(x-y);loga(x-y)=,其中正确的有几个（ ）A.0 B.1 C.2 D.3解析：由对数的公式知上面四个式子都不对，故选 A.答案：A变式提升 1设函数 f(x)=则满足 f(x)=的 x 的值是_______________.解析：若 4-x=，即 4-x=4-1,∴x=1. 又∵x∈(-∞,1),∴x=1 应舍去. 若 log81x=,则 x=,∴x=3.∵x∈(1,+∞),∴x=3 即为所求.答案：3类题演练 2计算：lg52+lg8+lg5·lg20+(lg2)2解析：原式=lg52+lg23+lg 5·lg(4×5)+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg(5×2)+2lg5·lg2+(lg5)2+(lg2)2=2+(lg5+lg2)2=3.变式提升 2计算：（1）log2+log212-log242-1;(2)(log32+log92)·(log43+log83).解析：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.(2)原式=（+）(+)=(+)(+)=·=.类题演练 3已知 lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1,求 lg.解析：lg=lg 45=lg=(lg9+lg10-lg2)=(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2≈0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.变式提升 3设 x、y、z∈R+,且 3x=4y=6z.(1)求证：-=;(2)比较 3x、4y、6z 的大小.(1)证明：设 3x=4y=6z=k,∵x、y、z∈R+,∴k>1 且 x=,y=,z=. 于是-=-===.(2)解析：∵3x-4y=lgk(-)=lgk·<0,∴3x<4y. 又 4y-6z=lgk(-)=lgk·<0,∴4y<6z.∴3x<4y<6z.
