高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案VIP专享

5．2.2 同角三角函数的基本关系[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．[重点] 同角三角函数关系式的应用．[难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．知识点一 同角三角函数基本关系式 [填一填](1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝，其中 α≠kπ＋(k∈Z)．[答一答]1．同角三角函数基本关系中，角 α 是否是任意角？提示：平方关系中的角 α 是任意角，商数关系中的角 α 并非任意角，α≠kπ＋，k∈Z.2．这里的“同角”是什么含义？提示：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．3．下列四个结论中可能成立的是( B )A．sinα＝且 cosα＝B．sinα＝0 且 cosα＝－1C．tanα＝1 且 cosα＝－1D．α 是第二象限角时，tanα＝－ [解析] (1) sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，∴cosα＝±＝±＝±.又 α 是第四象限角，∴cosα>0，∴cosα＝，∴tanα＝＝－.(2)解： cosα＝－<0，∴α 是第二或第三象限角．当 α 是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，∴sinα＝＝＝，tanα＝＝－；当 α 是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，∴sinα＝－＝－＝－，tanα＝＝.[答案] (1)D (2)见解析已知角 α 的某种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.[变式训练 1] 已知 tanα＝2，则 cosα＝±.解析：由 tanα＝＝2 得，sinα＝2cosα，又 sin2α＋cos2α＝1，∴4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，∴cosα＝±.类型二 整体代入，化切求值 [例 2] 设 tanα＝2，求下列各式的值：(1)；(2)2sin2α－3sinαcosα＋5cos2α.[解] 因为 tanα＝2≠0，所以(1)＝＝＝＝＝3.(2)2sin2α－3sinαcosα＋5cos2α＝＝＝＝.[变式训练 2] 已知 tanα＝3，求下列各式的值：(1)＋；(2)；(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.解：(1)＋＝＋＝＋＝－.(2)＝＝＝.(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝＝＝＝.类型三 三角函数式的化简 [例 3] 化简下列各式：(1)；(2)sin2αtanα＋2sinαcosα＋.[分析] (1)中含有根号，运用三角函数平方关系将被开方...