一、选择题1.(2012·无锡调研)下列各点在方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线上的是()A.(0,0)B.(1,1)C.(1,-1)D.(1,-2)解析:选D.验证法,点(0,0)显然不满足方程x2-xy+2y+1=0,当x=1时,方程变为1-y+2y+1=0,解得y=-2,∴(1,-2)点在曲线上.故选D.2.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x解析:选B.|MN|=4,|MP|=,MN·NP=4(x-2),∴4+4(x-2)=0,∴y2=-8x.3.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是()解析:选C.由题意可得或x+y+1=0.它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0右上方的部分.4.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=λ1OA+λ2OB(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析:选A.设C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3),∵OC=λ1OA+λ2OB,∴,又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.5.(2012·兰州质检)一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点,点A是圆周上一动点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后展开纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析:选A.∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线,∴|PA|=|PQ|.又∵|PA|+|OP|=r,∴|PQ|+|OP|=r>|OQ|.由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆.二、填空题6.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是________.解析:设M(x,y),则P(2x,2y),代入双曲线方程得x2-4y2=1,即为所求.答案:x2-4y2=17.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为________.解析:在Rt△AOP中(O为坐标原点),∵∠APB=60°,∴∠APO=30°,∴PO=2OA=2,动点P的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,方程为x2+y2=4.答案:x2+y2=48.(2012·大同调研)直线+=1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是________.解析:设直线+=1与x,y轴的交点分别为A(a,0),B(0,2-a),AB中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.答案:x+y=1(x≠0,x≠1)三、解答题9.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若RA=AP,求点P的轨迹方程.解:∵RA=AP,∴R,A,P三点共线,且A为RP的中点,设P(x,y),R(x1,y1),则由RA=AP,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),则,即x1=2-x,y1=-y,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x,∴点P的轨迹方程为y=2x.10.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点是F1(-c,0),F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|=2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PT·TF2=0,|TF2|≠0.(1)设x为点P的横坐标,证明|F1P|=a+x;(2)求点T的轨迹C的方程.解:(1)证明:设P(x,y),则|F1P|2=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2-x2=2.∵x≥-a,∴a+x≥a-c>0,∴|F1P|=a+x.(2)设T(x,y).当|PT|≠0时,∵PT·TF2=0,∴PT⊥TF2.又∵|PF1|+|PF2|=2a=|PF1|+|PQ|,∴|PQ|=|PF2|,∴T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中,|OT|=|F1Q|=a,即x2+y2=a2.当|PT|=0时,点(-a,0)和(a,0)在轨迹上.综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2.11.设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,点P满足OP=(OA+OB),点N的坐标为,当直线l绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)|NP|的最大值,最小值.解:(1)直线l过定点M(0,1),设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A、B的坐标满足方程组消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0.则Δ=4k2+12(4+k2)>0.∴x1+x2=-,x1x2=.设P(x,y)是中点,则OP=(OA+OB),得消去k得4x2+y2-y=0.当斜率k不存在时,AB的中点是坐标原点,也满足这个方程,故P点的轨迹方程为4x2+y2-y=0.(2)由(1)知4x2+2=,∴-≤x≤.而|NP|2=2+2=2+=-32+,∴当x=-时,|NP|取得最大值,当x=时,|NP|取得最小值.