一、选择题1．(2012·无锡调研)下列各点在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线上的是()A．(0,0)B．(1,1)C．(1，－1)D．(1，－2)解析：选D.验证法，点(0,0)显然不满足方程x2－xy＋2y＋1＝0，当x＝1时，方程变为1－y＋2y＋1＝0，解得y＝－2，∴(1，－2)点在曲线上．故选D.2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选B.|MN|＝4，|MP|＝，MN·NP＝4(x－2)，∴4＋4(x－2)＝0，∴y2＝－8x.3．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是()解析：选C.由题意可得或x＋y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：选A.设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，∵OC＝λ1OA＋λ2OB，∴，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．5．(2012·兰州质检)一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：选A.∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，∴|PA|＝|PQ|.又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|.由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆．二、填空题6．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．答案：x2－4y2＝17．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．解析：在Rt△AOP中(O为坐标原点)，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∴PO＝2OA＝2，动点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝48．(2012·大同调研)直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是________．解析：设直线＋＝1与x，y轴的交点分别为A(a,0)，B(0,2－a)，AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)三、解答题9．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，求点P的轨迹方程．解：∵RA＝AP，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由RA＝AP，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，则，即x1＝2－x，y1＝－y，将其代入直线y＝2x－4中，得y＝2x，∴点P的轨迹方程为y＝2x.10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点是F1(－c,0)，F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|＝2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT·TF2＝0，|TF2|≠0.(1)设x为点P的横坐标，证明|F1P|＝a＋x；(2)求点T的轨迹C的方程．解：(1)证明：设P(x，y)，则|F1P|2＝(x＋c)2＋y2＝(x＋c)2＋b2－x2＝2.∵x≥－a，∴a＋x≥a－c>0，∴|F1P|＝a＋x.(2)设T(x，y)．当|PT|≠0时，∵PT·TF2＝0，∴PT⊥TF2.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝|PF1|＋|PQ|，∴|PQ|＝|PF2|，∴T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，|OT|＝|F1Q|＝a，即x2＋y2＝a2.当|PT|＝0时，点(－a,0)和(a,0)在轨迹上．综上所述，点T的轨迹C的方程是x2＋y2＝a2.11．设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足OP＝(OA＋OB)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|NP|的最大值，最小值．解：(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.设P(x，y)是中点，则OP＝(OA＋OB)，得消去k得4x2＋y2－y＝0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤.而|NP|2＝2＋2＝2＋＝－32＋，∴当x＝－时，|NP|取得最大值，当x＝时，|NP|取得最小值.
