突破点12立体几何中的向量方法(对应学生用书第167页)提炼1两条异面直线的夹角(1)两异面直线的夹角θ∈.(2)设直线l1，l2的方向向量为s1，s2，则cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝.提炼2直线与平面的夹角(1)直线与平面的夹角θ∈.(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.提炼3两个平面的夹角(1)如图121①，AB，CD是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．①②③图121(2)如图121②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝－cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉．回访1直线与平面的夹角1．(2015·全国卷Ⅱ)如图122，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．图122[解](1)交线围成的正方形EHGF如图所示．5分(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，所以AH＝10.7分以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE＝(10,0,0)，HE＝(0，－6,8).8分设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n＝(0,4,3).10分又AF＝(－10,4,8)，故|cos〈n，AF〉|＝＝.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.12分回访2二面角2．(2016·山东高考)在如图123所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的—条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角FBCA的余弦值．图123[解](1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.3分在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.5分(2)法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．故BC＝(－2，－2，0)，BF＝(0，－，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量.8分由可得可得平面BCF的一个法向量m＝.10分因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝，所以二面角FBCA的余弦值为.12分法二：如图，连接OO′，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝＝3.过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角FBCA的平面角.10分又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin45°＝.从而FN＝，可得cos∠FNM＝.所以二面角FBCA的余弦值为.12分(对应学生用书第167页)热点题型1向量法求线面角题型分析：向量法求线面角是高考中的常考题型，求解过程中，建系是突破口，求直线的方向向量与平面的法向量是关键.(2016·全国丙卷)如图124，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．图124[解](1)证明：由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.4分(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.6分以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，8分PM＝(0,2，－4)，PN＝，AN＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1).10分于是|cos〈n，AN〉|＝＝.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.12分向量法求线面角的一般步骤1．建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标．2．写出相关向量的坐标．3．求平面...
