导数在研究函数中的应用一、选择题1.(2013厦门市高三上学期期末质检)函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,-3)和(1,+∞)(D)(-3,1)解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y'>0⇒x2+2x-3<0⇒-30,且开口向下,所以a<0,b>0,所以f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项D中,对称轴x=-<-1,且开口向上,所以a>0,b>2a,所以f(-1)=2a-b<0,这与图象矛盾,故选D.3.(2013年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于(A)(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1解析: y'=3(x+1)(x-1),∴当x=-1或x=1时取得极值,由题意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故选A.4.(2013福建龙岩质检)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f'(x)的图象不可能是(D)解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f'(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f'(x)的图象不可能是D.5.(2013年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(C)解析: f(x)在x=-2处取得极小值,∴当x<-2时,f(x)单调递减,即f'(x)<0;当x>-2时,f(x)单调递增,即f'(x)>0.∴当x<-2时,y=x·f'(x)>0;当x=-2时,y=x·f'(x)=0;当-20时,y=x·f'(x)>0,结合图象知选C.6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(A)(A)-13(B)-15(C)10(D)15解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值为-13.故选A.二、填空题7.(2013南充市第一次适应性考试)设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6.若x0是方程f(x)-f'(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则a=.解析:根据已知f(x)在(0,+∞)上是单调函数,又对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6,得f(x)-log2x必为常数,记为C,即f(x)-log2x=C.令x=C,f(C)-log2C=C,而f(C)=6,易知C=4,所以f(x)=4+log2x,f'(x)=.又因为f(1)=4,f'(1)=>0,f(2)=5,f'(2)=<1,所以f(1)-f'(1)<4,f(2)-f'(2)>4,根据零点存在性定理知,方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)内必有一个解.又由于f(x)-f'(x)是一个增函数,故方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)内只有一个解.因此a=1.答案:18.(2013广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(a∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.解析:由题意得f'(x)=3ax2-3,当a≤1时,在[-1,1]上恒有f'(x)=3ax2-3≤0,∴f(x)在[-1,1]上为减函数,∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0,解之得a≥2(与条件a≤1矛盾),不符合题意;当a>1时,令f'(x)=0可得x=±,当x∈时,f'(x)<0,f(x)为减函数;当x∈,x∈时,f'(x)>0,f(x)为增函数.∴x=±为极值点,要使f(x)≥0成立,只需即∴a=4.答案:4三、解答题9.已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x∈时,f(x)-1),∴f'(x)=(1+x)-=(x>-1),∴-10时,f'(x)>0,∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).(2)由(1)知,函数f(x)在上单调递减,在(0,e-1)上单调递增.又 f=+1,f(e-1)=e2-1>+1,∴f(x)≤e2-1,又f(x)e2-1.10.(2013石家庄市高中毕业班教学质检)已知函数f(x)=alnx-2ax+3(a≠0).(1)设a=-1,求函数f(x)的极...
