专项小测(十七)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋＝＋1.(1)求角C的大小；(2)若S△ABC＝且a＝2b，求c的值．解：(1)由正弦定理得＋＝＋1，即＝＋1，(2分)化简得＝，由余弦定理得cosC＝(4分)所以C＝.(5分)(2)由题意知S△ABC＝absinC＝ab＝，所以ab＝2.(7分)又a＝2b，所以a＝2，b＝1.(9分)由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋1－2＝3，(11分)得c＝.(12分)18．(12分)如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE.(1)证明：EF⊥平面PBE；(2)设N为线段PF上的动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．解：(1)因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EF∥BC.因为∠ABC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE.又因为BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE.(2)取BE的中点O，连接PO.由(1)知EF⊥平面PBE，EF⊂平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE.因为PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE.又因为PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE.过O作OM∥BC交CF于点M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．P，B，C，F，PC＝，PF＝，N为线段PF上一动点，设N(x，y，z)，由PN＝λPF(0≤λ≤1)，得N，BN＝.设平面PCF的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒取y＝1，则m＝(－1,1，)．设直线BN与平面PCF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BN，m〉|＝＝＝≤＝，所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为.19．(12分)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(175.6＜Z＜224.4)；(ⅱ)已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还需赔付客户48元．若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这批产品的利润，求E(Y)．附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)≈0.95.解：(1)由题意得＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.(2分)∴s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150，即样本平均数为200，样本方差为150.(4分)(2)(ⅰ)由(1)可知，μ＝200，σ＝≈12.2，∴Z～N(200,12.22)，∴P(175.6＜Z＜224.4)＝P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)≈0.95，(8分)(ⅱ)设X表示100件产品的正品数，由题意得X～B(100,0.95)，∴E(X)＝100×0.95＝95，∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.(12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)设P，Q是圆C上的两个动点，且∠POQ＝，求|OP|＋|OQ|的最大值．解：(1)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ.(5分)(2)设P的极坐标为(ρ1，θ)，Q，则|OP|＝ρ1＝2cosθ，|OQ|＝ρ2＝2cos，所以|OP|＋|OQ|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos.又所以－＜θ＜，所以当θ＝－时，|OP|＋|OQ|取最大值2.(10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知a2＋b2＝1，其中a，b∈R.(1)求证：≤1；(2)若ab＞0，求(a＋b)(a3＋b3)的最小值．解：(1)所证不等式等价于|a－b|≤|1－ab|，即(a－b)2≤(1－ab)2，即(a2－1)(1－b2)≤0.∵a2＋b2＝1，∴a2≤1，b2≤1，∴(a2－1)(1－b2)≤0，故原不等式成立．(5分)(2)(a＋b)·(a3＋b3)＝a4＋ab3＋a3b＋b4≥a4＋2＋b4＝(a2＋b2)2＝1，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，取“＝”，∴(a＋b)·(a3＋b3)的最小值为1.(10分)
