第34课平面向量的基本定理及坐标表示(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P79练习2改编)在平面直角坐标系中，已知点P(1，2)，Q(4，3)，那么向量=.【答案】(3，1)【解析】注意向量的起点与终点.2.(必修4P82习题6改编)在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若=(4，3)，=(1，5)，则=.【答案】(-6，21)【解析】=3=3(2-)=6-3=(6，30)-(12，9)=(-6，21).3.(必修4P87习题1改编)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，那么|2a+3b|=.【答案】【解析】|2a+3b|=|(2，4)+(9，3)|=|(11，7)|==.4.(必修4P73习题6改编)已知点A(1，-3)和向量a=(3，4)，若=2a，则点B的坐标为.【答案】(7，5)【解析】设O为坐标原点，因为=2a=(6，8)=-，所以=+=(6，8)+(1，-3)=(7，5)，所以点B的坐标为(7，5).5.(必修4P73习题1改编)已知点A(1，2)，B(4，2)，向量a=(x+y，x-2y)，若a与向量相等，则x-y=.【答案】1【解析】因为=(3，0)，a=，所以解得所以x-y=1.1.平面向量的基本定理(1)e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标形式在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对平面内任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj(向量的分量表示)，记作a=(x，y)(向量的坐标表示)，其中x叫作a的横坐标，y叫作a的纵坐标.3.平面向量的坐标运算(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1).(2)若A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么的坐标为(x2-x1，y2-y1).【要点导学】要点导学各个击破平面向量基本定理的应用例1在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是的中点，=k(k≠1)，设=e1，=e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量在此基底下的分解式.【思维引导】由=k(k≠1)，易求出，再由+++=0求得，最后利用+++=0，求得.(例1)【解答】如图，因为=e2，且=k，所以=k=ke2.又因为+++=0，所以=---=-++=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2.而+++=0，所以=---=+-=+e2-=[e1+(k-1)e2]+e2-e1=e2.【精要点评】应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则是解决本题的关键.变式(1)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若=2，则=.(用a和b表示)(变式(1))(变式(2))(2)如图，向量=a，=b，=c，A，B，C在一条直线上，且=-3，则c=.(用a，b表示)(3)已知点P为△ABC内一点，且3+4+5=0，延长AP交BC于点D，若=a，=b，用a，b表示向量.(1)【答案】a+b【解析】因为=2，所以△DOC∽△BOA，且=，所以==(+)==a+b.(2)【答案】-a+b【解析】因为=-3，所以-=-3(-)，所以=-+，即c=-a+b.(3)【解答】因为=-=-a，=-=-b，又因为3+4+5=0，所以3+4(-a)+5(-b)=0，化简得=a+b.设=t(t∈R)，则=ta+tb.①又设=k(k∈R)，由=-=b-a，得=k(b-a).而=+=a+，所以=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②，得解得t=.代入①，有=a+b.平面向量的坐标运算例2已知点A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设=a，=b，=c，且=3c，=-2b.(1)求3a+b-3c；(2)求满足a=mb+nc的实数m，n的值；(3)求点M，N的坐标及向量的坐标.【解答】由已知得a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8).(1)3a+b-3c=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(6，-42).(2)因为mb+nc=(-6m+n，-3m+8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为=-=3c，所以=3c+=(3，24)+(-3，-4)=(0，20)，所以点M的坐标为(0，20).又因为=-=-2b，所以=-2b+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，所以点N的坐标为(9，2).所以=(9，-18).【精要点评】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式1(2015·江苏卷)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为.【答案】-3【解析】因为ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，所以解得故m-n=-3.变式2(2015·湖南卷)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|++|的最大值为.【答案】7【解析】因为A，B，C均在单位圆上，且AB⊥BC，知A，C为...
