高三数学（理）第一轮复习：多面体与球人教版VIP专享VIP免费

高三数学（理）第一轮复习：多面体与球人教版【本讲教育信息】一.教学内容：多面体与球二.本周教学重、难点：1.了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。2.了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。【典型例题】[例1]如图，地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A点是东经20，北纬60；B点是东经140，北纬60；C点是东经140，北纬30，试求A、B与B、C两点的球面距离。解： A、B纬度均为60∴A、B在同一纬线上设此纬线圈中心为O1由已知有1201BAO，且6011OBOOAO∴RRBOAO2160cos11在BAO1中，120cos21121212BOAOBOAOAB=243R在AOB中，852cos222BOAOABBOAOAOB∴85arccosAOB∴A、B两点的球面距离等于85arccosR B、C两点在同一经线上，纬度差为30，即30BOC∴BC两点的球面距离等于6R[例2]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a2。（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积。解：如图用心爱心专心（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS∴O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径 AB=BC=a∴aAC2 SA=SC=AC=a2∴SAC为正三角形由正弦定理得aaASCACR36260sin2sin2因此33276834,36aRVaR球（2）设内切球的半径为r作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF则有aaaBFSBSF27)2()2(2222247272121aaaSFBCSSBC2)17(4aSSSSBC底棱锥全又aaaEFSFSE26)2()27(2222∴3266263131aaahSV底棱锥∴aaaSVr12642)17(663323全棱锥∴223744arS球[例3]半径为1的球面上有A、B、C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是用心爱心专心2，B和C的球面距离是3，求球心O到平面ABC的距离。解： 球O的半径为1∴A和B的球面距离21AOB∴2AOB又OA=OB=1∴2AB同理，2AOC，2AC，3BOC，BC=1由2AOCAOB，得OA⊥平面OBC设所求距离为d，则由OBCAABCOVV，知OASdSOBCABC3131由此解得721d[例4]棱长是a的正方体AC1内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切。求证：两个球半径之和为常数。解：如图所示，根据正方体、球均为中心对称图形可知，两球球心O1、O2均在正方体的体对角线AC1上，并且一球与上底面对角线相切，另一球与下底面对角线相切，以此作出其对角面图设O1、O2半径分别为1r、2r，过O1、O2分别作ACHO//1，12//CCHO则HOO21为Rt 121~ACCRtHOORt∴11212ACCCOOHO即31)(2121rrrra∴arr23321（常数）[例5]如图，球心O到截面BCD所在圆心O1的距离为球的半径的一半，BC是截面圆的直径，用心爱心专心D为圆周上一点，CA是球O的直径。（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；（2）如果球的半径为R，D分BC为2:1两部分，求AC与BD所成角。解：（1）设球心为O，小圆BCD的圆心为O1由题知ROO211 AC是球的直径∴AB⊥BC又 AB//OO1∴AB⊥面BCD而AB面ABD∴面ABD⊥面BDC（2）由D分BC为2:1两部分，知601DBORRRBOBD23)21(221延长DO1交圆O1于H，则CH//BD，故ACH为AC与BD所成的角，易证CH⊥平面ABH，故CH⊥AH43223cosRRACCHACH∴AC与BD所成的角为43arccos[例6]在一个轴截面是正三角形（顶角开口向上）的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。解：如图，作出圆锥容器的轴截面，ABS为等边三角形 SG=h，DGh33∴SGDGV23水329)33(3hhh设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R在FBSRt中，RFSBSFBF3tan32233)3(3)3RRRSFBFV（＝锥体334RV球依题意有水球锥体VVV，即3339343hRR用心爱心专心∴hR3151答：所求铁球半径等于h3151[例7]如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE。（1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；（2）若90CBE，3CE，AD=1，求B、D两点间的球面距离。解：（1） AD⊥底面BCDE∴AD⊥BC，AD⊥BE又 AC⊥BC，AE⊥BE∴BC⊥CD，BE...