恒成立问题与有解问题的区别山东沂源二中石玉台（256100）恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例1、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0时，即-2
3即>a+2上式等价于或解得。注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。2、有解问题2.1有解问题与二次不等式联系例4、不等式有解，求的取值范围。解：不等式有解有解有解，所以。2.2有解问题与绝对值不等式联系例5、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合．解：由又有解，所以．令恒成立．所以．用心爱心专心2.3有解问题与导数联系例6、（06年湖北）设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e,xR的一个极值点.(1)求a与b的关系（用a表示b），并求f(x)的的单调区间；（2）设a>0，g(x)=，若存在S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|<1成立，求a的取值范围.解析：（1），由=0得b=-2a-3.故f(x)=(x2+ax-2a-3)因为=-[x2+(a-2)x-3a-3]=-(x-3)(x+a+1).由=0得：x1=3，x2==-a-1.由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4.当a<-4时，x1-4时，x1>x2，故f(x)在上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在上为减函数.(2)由题意，存在S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|<1成立，即不等式|f(S1)-g(S2)|<1在S1，S2[0，4]上有解.于是问题转化为|f(S1)-g(S2)|<1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S1)和g(S2)在[0，4]上值域.因为a>0，则-a-1<0，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减.故f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e,a+6]，而g(x)=在[0，4]上显然为增函数，其值域因为故|f(S1)-g(S2)|=，从而解.故a的取值范围为。用心爱心专心假若问题变成：“对任意的S1，S2[0，4]，使得|f(S1)-g(S2)|<1都成立，...
