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高三数学函数的周期性探究知识点分析人教B版VIP免费

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函数的周期性探究一、函数周期性的概念:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。我们应该注意定义中,对函数f(x)定义域内的所有值,f(x+T)=f(x)是一个恒等式,所以若a属于定义域,那么a+T、a+2T、a+3T、…都属于定义域,由此可知周期函数的定义域是无限集。若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈N+)也是f(x)的周期,这是因为f(x+nT)=f[x+(n-1)T]=f[x+(n-2)T]=…=f(x)。对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期。不是所有周期函数都有最小正周期的,如:f(x)=b(b为常数),任意正数都是它的周期。课本还强调,今后本书所涉及到的周期,如果不加特殊说明,均指最小正周期。由周期函数的定义和诱导公式可知,函数y=sinx,y=cosx的周期T=2π,y=tanx的周期T=π,y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,)的周期,y=Atan(ωx+)(A>0,ω>0,)的周期为。若函数f(x)、g(x)的周期分别为T1、T2,那么f(x)+g(x)是周期函数,T1、T2的最小公倍数是它的周期,但不一定是最小正周期,需要把f(x)+g(x)有机整合后再求其周期,如果两部分是有关三角函数表达式的,一般应化为正弦型函数后,再求其周期。例1、(2009重庆卷理)设函数,求f(x)的最小正周期。解:用心爱心专心故f(x)的最小正周期为。例2、(2009山东卷理)设函数,求函数f(x)的最大值和最小正周期。解:所以f(x)的最大值为,最小正周期为。二、抽象函数的周期问题:高考对周期函数的考查,除了对三角函数式的正反两个方面考查外,近几年逐渐加强了对抽象函数的考查,我们首先应对在什么条件下的抽象函数是周期函数有所掌握。1、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足:f(x+a)=f(x+b)(a、b为常数,a>b),那么函数f(x)的周期T=a-b。由x的任意性,将式中x换成x-b,即得f(x+a-b)=f(x)。2、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足:f(x+a)=-f(x)(a为常数),那么函数f(x)的周期T=2a。事实上,f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)。同样可得,若函数f(x)对定义域内任意的x满足:(a为常数),那么函数f(x)的周期T=2a。用心爱心专心例3、(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()A、f(-25)f(0)=0,-f(1)<0,即f(-250时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x),所以T=6f(2009)=f(-1+6×335)=f(-1)=log2(1+1)=1故选C5、如果函数f(x)的图象是中心对称图形,且有两个对称中心(b,0)、(a,0)(a>b),那么函数f(x)的周期T=2(a-b)。因为f(x)=-f(2b-x)=f(2a-2b+x)。同样可得,如果函数f(x)的图象成轴对称图形,且有两条对称轴x=b,x=a(a>b),那么函数f(x)的周期T=2(a-b)。如果函数f(x)的图象既成中心对称又成轴对称,且对称中心为(m,0),对称轴为x=n(n>m),那么函数f(x)的周期T=4(n-m)。因为f(x)=-f(2m-x)=-f(2n-2m+x)所以f[4(n-m)+x]=-f(2n-2m+x)=f(x)。例5、(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+...

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