高三数学函数的周期性探究知识点分析人教B版VIP免费

函数的周期性探究一、函数周期性的概念：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。我们应该注意定义中，对函数f(x)定义域内的所有值，f(x+T)=f(x)是一个恒等式，所以若a属于定义域，那么a+T、a+2T、a+3T、…都属于定义域，由此可知周期函数的定义域是无限集。若T是函数f(x)的周期，那么nT(n∈N+)也是f(x)的周期，这是因为f(x+nT)=f[x+(n-1)T]=f[x+(n-2)T]=…=f(x)。对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期。不是所有周期函数都有最小正周期的，如：f(x)=b（b为常数），任意正数都是它的周期。课本还强调，今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期。由周期函数的定义和诱导公式可知，函数y=sinx，y=cosx的周期T=2π，y=tanx的周期T=π，y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,)的周期，y=Atan(ωx+)(A>0,ω>0,)的周期为。若函数f(x)、g(x)的周期分别为T1、T2，那么f(x)+g(x)是周期函数，T1、T2的最小公倍数是它的周期，但不一定是最小正周期，需要把f(x)+g(x)有机整合后再求其周期，如果两部分是有关三角函数表达式的，一般应化为正弦型函数后，再求其周期。例1、（2009重庆卷理）设函数，求f(x)的最小正周期。解：用心爱心专心故f(x)的最小正周期为。例2、（2009山东卷理）设函数，求函数f(x)的最大值和最小正周期。解：所以f(x)的最大值为，最小正周期为。二、抽象函数的周期问题：高考对周期函数的考查，除了对三角函数式的正反两个方面考查外，近几年逐渐加强了对抽象函数的考查，我们首先应对在什么条件下的抽象函数是周期函数有所掌握。1、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+a)=f(x+b)（a、b为常数，a>b），那么函数f(x)的周期T=a-b。由x的任意性，将式中x换成x-b，即得f(x+a-b)=f(x)。2、如果函数f(x)对定义域内任意的x满足：f(x+a)=-f(x)（a为常数），那么函数f(x)的周期T=2a。事实上，f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)。同样可得，若函数f(x)对定义域内任意的x满足：（a为常数），那么函数f(x)的周期T=2a。用心爱心专心例3、（2009山东卷文）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则（）A、f(-25)f(0)=0，-f(1)<0，即f(-250时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)，f(x+1)=f(x)-f(x-1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x)，所以T=6f(2009)=f(-1+6×335)=f(-1)=log2(1+1)=1故选C5、如果函数f(x)的图象是中心对称图形，且有两个对称中心（b,0）、（a,0）（a>b），那么函数f(x)的周期T=2(a-b)。因为f(x)=-f(2b-x)=f(2a-2b+x)。同样可得，如果函数f(x)的图象成轴对称图形，且有两条对称轴x=b，x=a(a>b)，那么函数f(x)的周期T=2(a-b)。如果函数f(x)的图象既成中心对称又成轴对称，且对称中心为（m,0），对称轴为x=n(n>m)，那么函数f(x)的周期T=4(n-m)。因为f(x)=-f(2m-x)=-f(2n-2m+x)所以f[4(n-m)+x]=-f(2n-2m+x)=f(x)。例5、（2009山东卷理）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x1+...