三轮复习之疑难问题分说1.在分类和整合上的选择分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题经常使用的数学思想方法．正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分为若干类别．科学地分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏，划分只是手段，分类研究才是目的，因此还需要在分好的类别下逐个进行研究．其中体现的是由大化小，由整体化部分，由一般化特殊的解决问题的方法，它的研究基本方向是“分”，但是“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必然有“合”当分类解决完这个问题之后，还必须把它们总合到一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体．这样，有分有合，先分后合不仅是分类与整合思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性．高考将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合，由此突出考查考生思维的严谨性和周密性．【例1】解关于的不等式（R）．【分析】解不等式的每一步变形都必须是同解变形，也就是等价变形，等价变形的理论依据应该是相关的定理．也就是说，在解不等式时必须保证每一步变形都是以相关定理为依据的同解变形．本题是一个简单的分式不等式，且等号的右端为零，可以由解分式不等式的定理等价转化为以下两个不等式组:或不等式组中的不等式都是一次不等式，且一次项系数为1，因此解不等式只是移项变形，这是同解变形，无需讨论，等价为：或【插语】下面求不等式组的解集，此时发现由于与的大小不确定，不等式组的解集不能确定，因此要进行分类讨论，分情况写出它们的解集．分类的关键是合理划分区间，找出分界点．【继析】令,得或，由此找到两个分界点，由已知，R，所以应划分为以下三种情况来进行讨论：①或，此时；②或，此时；③此时【点评】只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了．解含有参数的不等式是高考考查分类讨论思想最经常采用的题型，这类题突出考查考生的分类意识和分类方法．在答题时，尽量简化运算过程，避免与分类讨论无关的繁琐变形，并控制讨论的次数．用心爱心专心115号编辑【例2】已知R，求函数的单调区间．【分析】本例所给函数解析式含有参数a,由于a取值的不同，可能会影响到函数的性质，也就是说，这个函数的单调区间可能会随a取值的不同而不同．看来对a的取值进行分类讨论是不可避免的．【解答】根据导数的正负与函数单调性关系的定理，应研究使导数分别为正、负、零的区间．的解析式是由两个式子的乘积组成的，其中无论为任何实数，都有，于是问题又进一步转化为对函数取正、负、零值的研究，由此遇到的第一个问题就是a是否为零的问题．当时，为一次式；当时，它的两个根分别为0和，解不等式时需要比较它们的大小．当时，有当时，有这是第二层划分，综合以上两层划分不难得出，需要在三种情况下分类进行研究．(1)当时，若，则；若，则．所以当时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数．(2)当时，由，解得或；由，解得．所以当时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间内为增函数．(3)当时，由，解得；由，解得或．所以当时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数．【说明】由以上分析我们不难看出，“分类”与“研究”的两个过程中，科学的分类是关键，没有分类也就无从研究．而分类往往又不可能在解题之初完成，一般是在解题的过程中．当不可能统一进行时，需要分类进行，类的划分就会水到渠成．高考对分类整合思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，用心爱心专心115号编辑数列问题和解析几何问题等．【例3】设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．【评析】直线的点斜式方程并没有表示出过点的所有直线，它不包括与y轴平行的一条．因此要想表示出过点的所有直线，应表示为或，这是解与直线有关的解析几何问题时应该注意的地方．...
