第七章 第七节 立体几何中的向量方法（理）VIP免费

第七章第七节立体几何中的向量方法（理）题组一利用空间向量证明平行、垂直问题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：如图所示，易证BD⊥平面AA1C1C，又CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE.答案：B2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析： 正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB�＝1AB�，CN�＝CA�，∴MN�＝MB�＋BC�＋CN�＝1AB�＋BC�＋CA�＝(11AB�＋1BB�)＋BC�＋(CD�＋DA�)＝1BB�＋11BC�.又 CD�是平面B1BCC1的法向量，且MN�·CD�＝(1BB�＋11BC�)·CD�＝0，∴MN�⊥CD�，∴MN∥平面B1BCC1.答案：B题组二利用空间向量求空间角3.(2010·陕西八校模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM�，1DN�〉的值为()A.B.C.D.1解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM�＝(2，－2,1)，1DN�＝(2,2，－1)，cos〈CM�，1DN�〉＝－，sin〈CM�，1DN�〉＝.答案：B4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C—C1的大小．解：如图，建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M， BM⊥AC，BM⊥CC1.∴BM⊥平面A1C1C，即BM�＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)．1AC�＝(－2,2，－2)，1AB�＝(－2,0,0)，∴111120,2220,nABxnACxyz��令z＝1，解得x＝0，y＝1.∴n＝(0,1,1)，设法向量n与BM�的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角． cosθ＝|cosφ|＝nBMnBM��＝，解得θ＝.∴二面角B1－A1C－C1的大小为.题组三综合问题5.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝.(1)求证：PA⊥B1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值．2解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，P(1,1,4)．(1)证明： AP�＝(－1,1,2)，11DB�＝(2,2,0)，∴AP�·11DB�＝－2＋2＋0＝0，∴PA⊥B1D1.(2)平面BDD1B1的法向量为AC�＝(－2,2,0)．DA�＝(2,0,0)，OP�＝(1,1,2)．设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA�，n⊥DP�.∴∴取n＝(0，－2,1)，设所求锐二面角为θ，则cosθ＝nACnAC��＝＝.6．(2010·广州调研)如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2.点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连结PB、PC.(1)求证：BC⊥PB；(2)求二面角A－CD－P的平面角的余弦值．解：(1)证明：点A、D分别是RB、RC的中点，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠PAD＝∠RAD＝∠RBC＝90°，∴PA⊥AD，∴PA⊥BC， BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB. PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.(2)法一：取RD的中点F，连结AF、PF. RA＝AD＝1，∴AF⊥RC. AP⊥AR，AP⊥AD，∴AP⊥平面RBC. RC⊂平面RBC，∴RC⊥AP.3 AF∩AP＝A，∴RC⊥平面PAF. PF⊂平面PAF，∴RC⊥PF.∴∠AFP是二面角A－CD－P的平面角．在Rt△RAD中，AF＝RD＝＝，在Rt△PAF中，PF＝＝，cos∠AFP＝＝＝.∴二面角A－CD－P的平面角的余弦值是.法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.则D(－1,0,0)，C(－2,1,0)，P(0,0,1)．∴DC�＝(－1,1,0)，DP�＝(1,0,1)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则：00nDCxynDPxz��令x＝1，得y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)．显然，PA�是平面ACD的一个法向量，PA�＝(0,0，－1)．∴cos〈n，PA�〉＝nPAnPA�＝＝.∴二面角A－CD－P的平面角的余弦值是.7．(2009·江西高考改编)如图在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面A...