利用导数研究函数的单调性核心考点·精准研析考点一不含参数的函数的单调性1.函数y=xlnx的单调递减区间是()A.(-∞,e-1)B.(e-1,+∞)C.(e,+∞)D.(0,e-1)2.函数f(x)=的单调递增区间为.3.(2020·汉中模拟)若幂函数f(x)的图像过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为.【解析】1.选D.函数y=xlnx的定义域为(0,+∞),因为y=xlnx,所以y′=lnx+1,令y′<0得00,解得x<-1-或x>-1+.所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞)3.设幂函数f(x)=xa,因为图像过点,所以=,a=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令g′(x)<0,得-20,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.【秒杀绝招】排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x∈(1,+∞)时,y=x和y=lnx都是增函数且为正数,所以y=xlnx也是增函数,从而排除B,C.考点二含参数的函数的单调性【典例】(2019·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=ax-lnx+(a∈R),讨论f(x)的单调性.世纪金榜导学号【解题导思】序号题目拆解(1)求f′(x),解方程f′(x)=0解方程f′(x)=0时,发现需分a≤0和a>0两种情况讨论(2)由f′(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】f′(x)=a--=(x>0).设g(x)=ax2-x-1(x>0),①当a≤0时,g(x)<0,f′(x)<0;②当a>0时,由g(x)=0得x=或x=,记x0=,则g(x)=ax2-x-1=a(x-x0)(x>0),因为x->0,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,综上知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.已知函数f(x)=-lnx.讨论f(x)的单调性.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--=-,(1)当a≥0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;(2)当a<0时,由f′(x)>0,可得0-a,则f(x)在(0,-a)上单调递增,在(-a,+∞)上单调递减.考点三利用导数解决函数单调性的应用问题命题精解读1.考什么:(1)考查函数图像的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.2.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图像及函数的单调性的应用等问题.3.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,从而构建不等式,求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f(x)在区间D上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.函数图像的识别【典例】函数f(x)=x2+xsinx的图像大致为()世纪金榜导学号【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsinx=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意,f(x)=x2+xsinx=x(x+sinx),令g(x)=x+sinx,则g′(x)=1+cosx≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.辨别函数的图像主要从哪几个角度分析?提示:...
