核心素养测评四十七平行、垂直的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知线段AB在平面α外,A,B两点到平面α的距离分别为3和5,则线段AB的中点到平面α的距离为()A.1B.4C.1或4D.4或6【解析】选C.当A,B在平面α同侧时,距离为=4,当A,B在α异侧时,距离为=1.2.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为()A.aB.aC.aD.a【解析】选D.如图所示:取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.即∠A′OC=90°,又A′O=CO=a,所以A′C==a,即折叠后AC的长A′C为a.3.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1【解析】选D.易知AC⊥平面BB1D1D.因为A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,所以A1C1⊥B1O.4.如图,三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).下面说法正确的是()A.当λ≠时,平面BEF⊥平面ABC;B.当λ≠时,平面BEF⊥平面ABC;C.当λ=时,平面BEF⊥平面ACD;D.当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.【解析】选C.因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,AB⫋平面ABC,BC⫋平面ABC,所以CD⊥平面ABC.又因为==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC,EF平面BEF.所以不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.若平面BEF⊥平面ACD,因为BE⊥EF,所以BE⊥平面ACD.所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ABD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=tan60°=.所以AC==.由AB2=AE·AC,得AE=.所以λ==.故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.5.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中世纪金榜导学号()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【解析】选B.找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,在图(1)中由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又因为AC∩AE=A,所以BD⊥面ACE,所以BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.对于选项B,若AB⊥CD,又因为AB⊥AD,AD∩CD=D,所以AB⊥面ADC,所以AB⊥AC,由AB=1,BC=,ABAB,所以不存在这样的直角三角形.所以C错误.由上可知D错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件时,有MN∥平面B1BDD1.【解析】如图,连接FH,HN,FN,由题意知HN∥平面B1BDD1,FH∥平面B1BDD1.且HN∩FH=H,所以平面NHF∥平面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时,有MN∥平面B1BDD1.答案:M∈线段HF7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF⊥平面B1DF.【解析】由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,又CF平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.答案:a或2a8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1上).过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈,这样的直线有条.世纪金榜导学号【解析】连接B1D1,BD,因为BD∥B1D1,所以直线m与直线B1D1也成α角,如图.在平面A1B1C1D1内,过直线B1D1外一点P与B1D1成锐角α的直线有两条,所以与BD所成的角α∈的直线m有两条.答案:两三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE.(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)连接B1C,ME,C1D.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的...
