3.2.3指数函数与对数函数的关系5分钟训练1.下表给出了函数y=ax(a＞0,a≠1)的一部分自变量与函数值,那么其反函数是X-2-1012Y931A.y=log3xB.y=logx3C.y=D.y=logx答案：C解析：由x=1时,y=,得a=,从而其反函数为y=,x＞0.2.函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析式为()A.y=log2B.y=C.y=log2D.y=log2答案：A解析：y=+3y-3=21-x,∴log2(y-3)=1-x,即x=1-log2(y-3).∴x=,交换x、y知y=log2.3.如图，当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象是()答案：A解析：首先把y=a-x化为y=()x，∵a＞1，∴0＜＜1.因此y=()x，即y=a-x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的.4.若函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=_________.答案：解析：由互为反函数关系,知f(x)过点(-1,2),代入得a-1=2,a=.10分钟训练1.已知f（x）=10x-1-2，则f-1（8）的值是()A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据互为反函数的两个函数的关系，f-1(8)的值就是原函数函数值为8时对应的自变量x的值.由8=10x-1-2,解得x=2，即f-1(8)=2.2.函数y=(x≠0)的反函数的图象大致是()答案：B解析：由y=(x≠0),得xy=1-x,∴x=.∴反函数为y=,其图象由y=图象向左平移一个单位可得.3.若log2［(log2x)］=log3［(log3y)］=log5［(log5z)］=0,则x、y、z的大小关系是()A.z＜x＜yB.x＜y＜zC.y＜z＜xD.z＜y＜x答案：D解析：由log5［(log5z)］=0,可知=1,log5z=,可得z=.同理可得x=,y=.∵=25=32,=52=25,∴＞,∴x＞y.同理可得y＞z.综上可知x＞y＞z.4.设函数f(x)=loga(x+b)(a＞0,a≠1)的图象过点(0,0),其反函数的图象过点(1,2),则a+b等于()A.6B.5C.4D.3答案：C解析：函数f(x)=loga(x+b)(a＞0,a≠1)的图象过点(0,0),其反函数的图象过点(1,2),则∴a=3,则a+b=4.5.已知a＞0,且10x=lg(10a)+lga-1,则x=____________.答案：0解析：∵10x=1+lga-lga,∴x=0.6.已知函数f（x）=1+a-x，其中a＞0，a≠1.（1）求f（x）的反函数f-1（x）；（2）判断函数f-1（x）的单调性，并加以证明.解：(1)由y=1+a-x，得a-x=y-1.∴-x=loga(y-1).∴x=-loga(y-1)，即x=loga.又由y=1+a-x知y＞1.∴函数f(x)的反函数为f-1(x)=loga(x＞1).(2)设1＜x1＜x2，f-1(x1)-f-1(x2)=loga.∵1＜x1＜x2，∴0＜x1-1＜x2-1.∴＞1.∴当a＞1时，＞0，即f-1(x1)-f-1(x2)＞0，f-1(x1)＞f-1(x2).∴f-1(x)为减函数.当0＜a＜1时，＜0，f-1(x1)-f-1(x2)＜0，f-1(x1)＜f-1(x2)，∴f-1(x)为增函数.总之，当a＞1时，f-1(x)在(1，+∞)上单调递减；当0＜a＜1时，f-1(x)在(1，+∞)上单调递增.30分钟训练1.设函数f(x)=log3x的反函数为y=f-1(x),则f-1(-log92)的值是()A.2B.C.D.log3答案：C解析：因为互为反函数的定义域与值域是互相对称的,所以,令log3x=-log92=log32=log3,得x==.2.(创新题)若f(x)=logax(a＞0且a≠1),且反函数值f-1(2)＜1,则f(x)的图象是()答案：B解析：因为f-1(x)=ax,f-1(2)＜1,可知0＜a＜1.3.已知3a=5b=A,=2,则A等于()A.15B.C.±D.225答案：B解析：∵3a=5b=A＞0,∴a=log3A,b=log5A.由=2,得A2=15,A=.4.(探究题)今有一组数据如下：T1.993.04.05.16.12V1.54.047.51218.01现准备了如下四个答案,哪个函数最接近这组数据?()A.v=log2tB.v=C.v=D.v=2t-2答案：C解析：依据数据的变化规律,可知该函数是增函数,从而B错误.由于函数值的变化越来越快,知A、D错误.5.如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2,)中,“好点”的个数为()A.0B.1C.2D.3答案：D解析：∵loga1=0,∴M、N一定不是“好点”.6.图中三条对数函数图象，若＞1,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1＞x2＞x3B.x3＞x2＞x1C.x3＞x1＞x2D.x2＞x1＞x3答案：B解析：由图知0＜b＜a＜1>c,再根据指数函数的图象可知x1＜x2＜0,x3>0,从而x1＜x2＜x3.7.设g(x)=则g［g()］=_________________.答案：解析：g［g()］=g(ln)=.8.若0＜a＜1,则下列不等式中一定成立的是_______________.①0.8a＜0.7a;②a0.8＜a0.9;③loga0.8＜loga0.9;④0.8lga＜0.7lga.答案：④解析：∵＞1,∴0.8a＞0.7a,因此①不成立.由指数函数y=ax(0＜a＜1)和对数函数y=logax(0＜a＜1)的单调性,知②③不成立.∵0＜a＜1,∴lga＜0,＜1,∴④成立.9.已知函数f(x)=amx(a＞0,且a≠1)(m∈R,m≠0),求f-1［f(-x)］的表达式.解：令f(x)=amx=y,f(-x)=a-mx,mx=logay,∴x=logay.∴f-1(x)=logax.∴f-1［f(-x)］=logaa-mx=·(-mx)=-x.10.函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,求f(4-x2)的单调递增区间.解：∵函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,∴函数f(x)与g(x)互为反函数.∴f(x)=.∴f(4-x2)=,这又是复合函数的单调性问题,其中内函数t=4-x2,由4-x2＞0得函数定义域为(-2,2),而t的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),与定义域的交集为(-2,0),(0,2).由复合函数单调性的判断方法可得,所求单调递增区间为(0,2).
