高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式应用案巩固提升 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

3.3几个三角恒等式[学生用书P124(单独成册)])[A基础达标]1．已知sin2α＝，则cos2＝()A．－B．－C．D．解析：选D．cos2＝＝＝.2．若cos2α＝－，且α∈，则sinα＝()A．B．C．D．－解析：选A．因为α∈，所以sinα≥0，由半角公式可得sinα＝＝.3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为()A．B．C．D．解析：选B．设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα＝.又β＝－，所以cosβ＝cos＝sin＝＝，故选B．4．若α∈，则－等于()A．cosα－sinαB．cosα＋sinαC．－cosα＋sinαD．－cosα－sinα解析：选B．因为α∈，所以sinα≤0，cosα＞0，则－＝－＝|cosα|－|sinα|＝cosα－(－sinα)＝cosα＋sinα.5．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为()A．1B．－1C．D．－解析：选D．由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cosx)＝cos2x－cosx－1，设t＝cosx(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值，为－，所以函数f(x)的最小值为－，故选D．6．函数f(x)＝sin－2·sin2x的最小正周期是________．解析：f(x)＝sin2x－cos2x－2·＝sin2x＋cos2x－＝sin－.故最小正周期为π.答案：π7．设sinα＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值等于________．解析：因为sinα＝，所以cosα＝－，tanα＝－.因为tan(π－β)＝，所以tanβ＝－，tan2β＝－，所以tan(α－2β)＝＝＝.答案：8．已知sin2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．解析：＝＝＝＝.因为sin2θ＝，0＜2θ＜，所以cos2θ＝，所以tanθ＝＝＝，所以＝＝，即＝.答案：9．求值：sin40°(tan10°－)．解：原式＝sin40°·＝sin40°·＝＝－1.10．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间．解：(1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)，所以f(x)的最小正周期T＝＝.依题意，得＝π，解得ω＝1.(2)由第一问知f(x)＝sin(2x＋)．函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．[B能力提升]1．已知cos·cos＝，θ∈，则sinθ＋cosθ的值是()A．B．－C．－D．解析：选C．cos·cos＝sincos＝sin＝cos2θ＝.所以cos2θ＝.因为θ∈，所以2θ∈，所以sin2θ＝－，且sinθ＋cosθ＜0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1－＝.所以sinθ＋cosθ＝－.2．设p＝cosαcosβ，q＝cos2，则p与q的大小关系是________．解析：因为p－q＝＝＝≤0，所以p≤q.答案：p≤q3．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求sin(α＋β)的值．解：因为cosα－cosβ＝，所以－2sinsin＝.①因为sinα－sinβ＝－，所以2cossin＝－.②①÷②，得－tan＝－.所以tan＝.所以sin(α＋β)＝＝＝.4．(选做题)点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？解：如图所示．因为AB为半圆的直径，所以∠APB＝，又AB＝1，所以PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切半圆于P点，所以∠TPB＝∠PAB＝α，所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sinα＝sinαcosα＋sin2α＝sin2α＋(1－cos2α)＝sin＋.因为0＜α＜，所以－＜2α－＜，所以当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋.