3.2.2半角的正弦、余弦和正切课时跟踪检测[A组基础过关]1．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin＝()A.B.C．－D.－解析：∵＜＜，∴sin＜0，∴sin＝－＝－，故选D.答案：D2．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝，则tan的值为()A．3B.2C．－2D.－3解析：由sin(270°＋α)＝，得cosα＝－，∵180°<α<270°，∴sinα＝－，∴tan＝＝＝－3，故选D.答案：D3．若θ∈，sin2θ＝，则cosθ－sinθ的值为()A．－B.C．－D.解析：解法一：2θ∈，∴cos2θ＝－，∴cosθ－sinθ＝－＝－.解法二：∵θ∈，∴cosθ＜sinθ，∴cosθ－sinθ＝－＝－＝－，故选C.答案：C4．(2017·山东卷)已知cosx＝，则cos2x＝()A．－B.C．－D.解析：cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝，故选D.答案：D5．若cosα＝－，α是第三象限角，则等于()A．－B.C.2D.－2解析：解法一：∵α是第三象限角，cosα＝－，sinα＝－，则＝＝＝＝＝＝－.解法二：∵α是第三象限角，∴是二、四象限角，∴tan＝－＝－3，∴＝＝－.答案：A6．已知cos2α＝－，那么tan2α·sin2α的值为________．解析：∵cos2α＝－，∴1－2sin2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝，cos2α＝，∴tan2α＝，∴tan2α·sin2α＝·＝.答案：7．若sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝________.解析：2＝1＋2sincos＝1＋sinα＝.又2π＜α＜3π，∴π＜＜，∴sin＋cos＜0，∴sin＋cos＝－.答案：－8．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．解：∵0＜α＜，∴cosα＝＝.∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π.若0＜α＋β＜，又∵sin(α＋β)＜sinα，∴α＋β＜α不可能，故＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.∴0＜β＜，即0＜＜，故cos＝＝.[B组技能提升]1．如果sinθ＝，＜θ＜3π，那么tan＋cos的值为()A.－3B.3－C．－D.解析：∵＜θ＜3π，＜＜，∴cosθ＝－＝－，cos＝－＝－，tan＝＝3.∴tan＋cos＝3－.故选B.答案：B2．若f(θ)＝＋2tanθ，则f＝()A．0B.2C．－2D.－4解析：∵f(θ)＝＋2＝2＝2＝－4，∴f＝－4·＝－4.答案：D3．在△ABC中，sin＝，那么cos2A＝______.解析：∵sin＝，∴(sinA＋cosA)＝，∴sinA＋cosA＝，(sinA＋cosA)2＝1＋sin2A＝，∴sin2A＝－1＋，∴sin2A＝－，且π＜2A＜π，∴cos2A＝－＝－.答案：－4．已知θ为第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos＝________.解析：25sin2θ＋sinθ－24＝0，∴sinθ＝，sinθ＝－1(舍)，∴cosθ＝－，∴cos＝±＝±.答案：±5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α是以Ox轴为始边，OA为终边的角，把OA绕点O逆时针旋转β(0<β<π)角到OB位置，已知A，B是单位圆上分别位于第一、二象限内的点，它们的横坐标分别为、－.(1)求的值；(2)求cosβ的值．解：由题可得A，B，∴cosα＝，sinα＝，cos(α＋β)＝－，sin(α＋β)＝，(1)＝＝＝＝－7.(2)cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.6．已知f(x)＝sin4x＋(sinx＋cosx)2－cos4x.(1)求f(x)的最小值及取最小值时x的集合；(2)求f(x)在x∈时的值域；(3)在给出的直角坐标系中，请画出f(x)在区间上的图象(要求列表描点)．解：(1)f(x)＝sin4x＋(sinx＋cosx)2－cos4x＝(sin2x－cos2x)＋1＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＋1＝2sin＋1.∴最小值为－1，此时x的集合为xx＝kπ－，k∈Z.(2)当x∈时，2x－∈，f(x)∈[－＋1,3]．(3)由f(x)＝2sin＋1知2x－－－π－0x－－－f(x)＋11－113＋1故f(x)在区间上的图象如图所示．
