高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦成长训练苏教版必修4夯基达标1.设α∈(0,),若sinα=,则cos（α+）等于（）A.B.C.-D.-解析：∵α∈(0,),sinα=,∴cosα=.∴cos(α+)=(cosαcos-sinαsin)=(cosα-sinα)=cosα-sinα=.答案：B2.(cos-sin)(cos+sin)等于（）A.B.-C.D.解析：(cos-sin)(cos+sin)=cos·cos+cos·sin-cos·sin-sin·sin=cos·cos-sin·sin=cos=.答案：D3.在△ABC中，若sinA·cosB＜cosA·cosB,则△ABC一定为（）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析：由sinA·sinB＜cosA·cosB得cosA·cosB-sinA·sinB＜0得cos(A+B)＜0,即-cosC＜0，∴cosC＜0，∴C为钝角.答案：D4.cos（-15°）的值是（）A.B.C.D.解析:cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=×+×=.答案:D5.若sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,则cos(α-β)的值为()A.B.C.D.1解析:由sinα-sinβ=1-,得sin2α-2sinαsinβ+sin2β=.①由cosα-cosβ=,得cos2α-2cosαcosβ+cos2β=.②①+②,得1+1-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2--2cos(α-β)=-.∴cos(α-β)=.答案:B6.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈(0,),求cosβ的值.解析：由cosα=,α∈(0,),∴sinα=,又cos(α+β)=,0＜α+β＜π,∴sin(α+β)==.∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=()×+,即有cosβ=.7.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,＜α+β＜2π,＜α-β＜π,求cos2β.解析：因为＜α+β＜2π,cos(α+β)=,所以sin(α+β)=.又＜α-β＜π,cos(α-β)=,所以sin(α-β)=.故cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×()-()×=;cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.8.已知cos(+α)=,sin(-β)=,且0＜α＜＜β＜π,求cos(β-α)的值.解析：∵0＜α＜＜β＜π,∴＜+α＜＜+β＜4.∵cos(+α)=＜0,∴＜+α＜.∴sin(+α)=.∵sin(-β)=sin［π-(+β)］=sin(+β)=＜0,∴＜+β＜π∴cos(+β)=.∴cos(β-α)=cos［(+β)(+α)］=cos(+β)cos(+α)+sin(+β)·sin(+α)=×(-)+×()=.9.已知8cos（2α+β）+5cosβ=0,求tan（α+β）tanα的值.解析：∵8cos(2α+β)+5cosβ=0，∴有8cos［(α+β)+α］+5cos［(α+β)-α］=08cos(α+β)cosα-8sin(α+β)sinα+5cos(α+β)cosα+5sin(α+β)sinα=0.13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0，13cos(α+β)cosα=3sin(α+β)sinα，tan(α+β)tanα=.10.已知cos（α+）=,≤α＜,求cos(2α+)的值.解析：∵≤α＜，∴≤α+＜.又cos(α+)=＜0,∴＜α+＜.∴sin(α+)=.∴cosα=cos［(α+)-］=cos(α+)cos+sin(α+)sin=××=.又∵cos(α+)=cosαcos-sinαsin=(cosα-sinα),∴cosα-sinα=cos(α+)=＞0.∴cosα＞sinα,而cosα=＜0.∴sinα＜0.∴sinα=.∴cos(2α+)=cos［(α+)+α］=cos(α+)cosα-sin(α+)·sinα=()-()()=,即有cos(2α+)=.走近高考11.(经典回放)下列四个命题中的假命题是()A.存在这样的α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC.对于任意的α和β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβD.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ解析：对于A，当α=kπ(k∈Z),β∈R时等式成立；对于B，由A知B不存在；对于C显然成立，对于D显然成立.答案：B12.（2006重庆高考，10）若α,β∈(0,)·cos(α-)=,sin(-β)=-,则cos（α+β）的值等于（）A.-B.C.D.解析：∵α、β∈(0,),∴α-∈(-,),-β∈(-,).∵cos（α-）=,∴α-=±,又∵sin(-β)=-,∴-β=-,由得此时cos(α+β)=cos=.由得不符合题意舍去,综上可得cos(α+β)=.答案：B13.（2005上海高考，6）若cosα=,α∈(0,)则cos（α+）=______________.解析：cosα=,α∈(0,).∴sinα=,∴cos(α+)=cosαcos-sinαsin=×=.答案：14.(2006陕西高考)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_________________.解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°cos13°=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=.答案：
