高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数例题与探究苏教版必修4典题精讲例1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°.思路解析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin57°化为cos33°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解.解：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=.或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=.绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.变式训练1(陕西高考，文13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________.思路解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos120°=-.答案：-例2已知α,β∈(,),tanα,tanβ是一元二次方程x2+33x+4=0的两根，求α+β.思路解析：由根与系数关系可得tanα+tanβ，tanαtanβ，因此可先求tan(α+β)，根据其正切值就可以求得其角度.解：由题意,知tanα+tanβ=,tanαtanβ=4,①∴tan(α+β)=.又∵α,β∈(,)，且由①知α∈(,0)，β∈(,0)∴α+β∈(-π,0).∴α+β=.黑色陷阱：本题易由α,β∈(,),得α+β∈(-π,π)，从而得出α+β=或，而忽视了隐含条件tanα<0,tanβ<0对α,β范围的限制.变式训练2(湖北高考，理3)若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA等于()A.B.C.D.思路解析：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A为锐角，所以sinA+cosA>0，又(sinA+cosA)2=1+sin2A=答案：A例3已知tanα=，tanβ=，0<α<β<,则α+2β等于()A.B.C.或D.思路解析：选求α+2β的某一三角函数值，显然选择正切较简单.但得出tan(α+2β)=1，就判断选项为B，则非明智之举.解：∵tan2β=，∴tan(α+2β)==1，∵tanα=<1，∴0<α<.tan2β=<1,∴0<2β<,∴0<α+2β<.∴α+2β=.答案：B黑色陷阱：若本题只考虑0<α<β<，则∴α+2β∈(0,)，误解为或，原因是忽视了tanα,tanβ的值对α,β取值范围的进一步限制.变式训练3(2006福建高考，文4)已知α∈(,π)，sinα=,则tan(α+)等于()A.B.7C.-D.-7思路解析：由α∈(,π),sinα=,则tanα=,tan(α+)==.答案：A例4(2006浙江高考，理6)函数y=sin2x+sinx,x∈R的值域是（）A.［-,］B.［,］C.［+,+］D.［-,-］思路解析：本题考查三角函数的性质，基础题.首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(ωx+φ)+B的形式再解.解：y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.答案：C绿色通道：三角函数的最值一般有两种思路，一是化为Asin(ωx+φ)+B的形式，二是化为A(sinx-b)2+c的形式利用二次函数的图象求解.变式训练4当x∈［,］时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值及此时的x值.思路解析：首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(ωx+φ)+B的形式再解.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2.周期T=π.当x∈［,］时，2x+∈［,］.sin(2x+)∈［-1,1］,∴f(x)∈［2-,2+］.∴f(x)max=2+.由2x+=2kπ+得x=kπ+.又∵x∈［,］，∴x=.即当x=时，f(x)的最大值为2+.问题探究问题1如图3-1-1,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P0，以Ox为始边分别作出角α,β,α-β，其终边分别和单位圆交于P1，P2，P3,由||=||，你能否导出两角差的余弦公式？图3-1-1导思：利用向量将三角公式与几何图形联系起来，向量的“曼妙”让令人生厌的三角公式摇身一变为婀娜多姿的几何图形，起到了化腐朽为神奇的效果!探究：能，由已知条件可知点P0，P1，P2，P3的坐标分别是P0(1,0),P1(cosα,sinα)P2(cosβ,sinβ),P3(cos(α-β),sin(α-β)),||=,||=,由||=||导出公式:［cos(α-β)-1］2+sin2(α-β)=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2.展开并整理得2-2cos(α-β)=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ).所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α+β)).
