高三数学复习：等差数列的概念及通项公式(教案)一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的定义和通项公式的推导方法；掌握公式的运用。2.能力目标：利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法运用等差数列的通项公式，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；通过从函数观点和数形结合去认识等差数列，培养学生分析问题，解决问题的能力。3.情感目标：（数学文化价值）：公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。二、课前预习：1.等差数列的概念：（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。一次函数（2）等差数列的通项公式：；推倒方法：(n－1)个等式说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中，，成等差数列或A-a=b-A归纳与拓展一：１．理解等差数列的定义及通项公式要抓住关键词和关键量；２．运用递推关系推导等差数列的通项公式的方法是累加法，等比数列是累乘法；累加法和累乘法是讨论递推关系的基本方法；３．数列中的三项问题，注意中项的运用．三、例题精析：1．（课本P38习题4改编）（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.（2）试问154是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝4，d＝.∴这个数列的通项公式为：an＝4＋×(n－1)，即：an＝n＋.∴a25＝×25＋＝40.思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an＝am＋(n－m)d.这样可简化运算.解法二：由题意可知：a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d,∴10d＝15.又 a25＝a15＋10d，∴a25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.解法三：在等差数列{an}中，a5，a15，a25成等差数列∴2a15＝a5＋a25，即a25＝2a15－a5,∴a25＝2×25－10＝40.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上.故有＝，解得n＝61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.归纳与拓展二：１．“知三求一”方法：数列角度：（１）数列通项基本量代入（２）数列性质（３）等差中项函数观点：一次函数数形结合：（１）直线方程（２）斜率公式（３）向量共线推广：类似方法可讨论等差和等比数列中“知三求二”问题２．在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中：（１）（２）若，且则.2.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，中间两级的宽度分别为，。分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.高考真题演练：1.（2001全国理，3）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则a1＝前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4a1·a2·a3＝48， a2...
