双曲线及其标准方程第二课时（一）教学目标1．熟练掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的,并注重用换元法解关于、的二元方程组．2．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题了,了解利用爆炸声的时间差确定爆炸点的准确位置,是双曲线的一个重要应用．（二）教学过程【复习提问】由一位学生口答,教师板书．问题1．双曲线的定义是什么？问题2．双曲线的标准方程是怎样的？【新知探索】双曲线标准方程的求法由双曲线的定义和标准方程可知,确定双曲线的标准方程需要三个条件,除需指明焦点位置外,还要确定、的值．【例题分析】例1.已知双曲线的焦点在轴上,并且双曲线上两点、的坐标分别为,求双曲线的标准方程．分析：这里要用待定系数法,涉及到解方程组,可由教师讲解．解：因为双曲线的焦点在轴,所以设所求双曲线的标准方程为：用心爱心专心因为、在双曲线上,所以点、的坐标适合方程,将它们的坐标分别代入方程中得到方程组令,则方程组化为：,解这个方程组得即,所以所求双曲线的标准方程为：教师问：若去掉“焦点在轴上”这一条件,所求的双曲线方程为或吗？用心爱心专心这时肯定会有一部分学生回答是教师引导学生讨论若焦点在轴上的情形．若焦点在轴上,设所求双曲线方程为依题意得此时无解,故所求的双曲线方程仍为．教师问：解这道题能不能不讨论呢？学生回答：能,设所求双曲线方程为依题意得,解得故所求双曲线方程为．点评：这样设所求双曲线方程不必讨论且解二元一次方程组简捷迅速,应予掌握．例2.一炮弹在某处爆炸,在处听到爆炸声的时间比在处晚,（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知、两地相距,并且此时声速为,求曲线的方程．分析：这是一个有关双曲线的应用问题,由教师讲解．解：（1）由声速及、两处听到爆炸声的时间差,可知、两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以、为焦点的双曲线上．因为爆炸点离处比处更远,所以爆炸点应在靠近处的一支上．（2）如图,建立直角坐标系,使、两点在轴上,并且原点与线段的中点重合．用心爱心专心xyOBAP设爆炸点的坐标为,则:即,∴又,即,∴故所求双曲线的方程为．点评：（1）求曲线方程,若没有坐标系,一定要先建立坐标系,按建系设点,列式化简,验证作答的程序进行．（2）利用两个不同的观测点得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程,但不能确定爆炸点的准确位置,如果再增设一个观测点,利用、（或、）两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．例3.在中,固定,顶点移动.设,当三个角有满足条件时,求的轨迹方程．由一位学生演板,教师订正补充．解：以所在直线为轴,线段的中点为原点建立直角坐标系,则设点坐标为．用心爱心专心由题设:,根据正弦定理,得：,即可知在以、为焦点的双曲线上．这里∴．又∴故所求点的轨迹方程为：.点评：（1）利用正弦定理实现边角转换再利用双曲线的定义求轨迹是解题的关键．这种满足曲线的定义,可直接写出所求的方程．（2）求轨迹要做到不重不漏,应把不满足条件的点去掉,这里是的顶点,所以应去掉与、共线的点．（三）随堂练习1．求焦点在轴上,,且过点的双曲线的标准方程．2．已知、、,椭圆过、两点且以为其一个焦点,求椭圆另一焦点的轨迹．用心爱心专心（第1题可在例1后练习,第2题可在例3后练习）答案：1．设所求双曲线方程为,由题意得解得故所求双曲线方程为．2．设椭圆的另一焦点,由题意得,∴．而,于是,根据双曲线定义可知在以、为焦点的双曲线的左支上．这里,∴,又∴,故椭圆的另一焦点的轨迹方程为．（四）总结提炼1．求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴,其次再确定,的值．若已知双曲线经过两个定点,求双曲线方程,设所求双曲线方程为列出关于、的二元一次方程组．求出、既避免了讨论又降低了方程组、未知数的次数,大大减少所需的运算,体现了由繁至简的化归思想．2．求曲线轨迹方程一定要验证,把不满足条件的点、线去掉．用心爱心专心（五）布置作业1．若点是以、为焦点的双曲线上的一点,则,且（）A．2B．22C．2或22D．4或222．方程所表示的曲线为．①若曲线为椭圆,则...
