一维热传导方程一．问题介绍考虑一维热传导方程：（1）,0),(22Ttxfxuatu其中a是正常数，)(xf是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(txu，满足方程（1）（x）和初始条件：（2）),()0,(xxux第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(txu，满足方程（1）（lx0）和初始条件：（3）),()0,(xxulx0及边值条件(4).0),(),0(tlutuTt0假定)(x在相应区域光滑，并且在lx,0满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。二．区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长Nlh/和时间步长MT/，其中N,M都是正整数。用两族平行直线：将矩形域}0;0{TtlxG分割成矩形网格，网格节点为),(kjtx。以hG表示网格内点集合，即位于开矩形G的网点集合；hG表示所有位于闭矩形G的网点集合；h=hG--hG是网格界点集合。三．离散格式第k+1层值通过第k层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。第k+1层值不能通过第k层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。1.向前差分格式（5）,22111jkjkjkjkjkjfhuuuauu)(jjxff，)(0jjjxu，00kNkuu，其中j=1,2,⋯，N-1，k=1,2,⋯,M-1。以2/har表示网比。则方程（5）可以改写为：易知向前差分格式是显格式。2.向后差分格式（6）,11111)21(jkjkjkjkjfuruuuru)(0jjjxu，00kNkuu，其中j=1,2,⋯，N-1，k=1,2,⋯,M-1，易知向前差分格式是显格式。3.六点对称格式（Grank-Nicolson格式）将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：（7）111112)1(2kjkjkjururur=jkjkjkjfururur112)1(2利用0ju和边值便可逐层求到kju。六点对称格式是隐格式，由第k层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。将其截断误差)(xRkj于),(21kjtx（21kt=)21(k）展开，则得)(xRkj=)(22hO。4.Richardson格式（8）211kjkjuujkjkjkjfhuuua2112，或（9）jkjkjkjkjkjfuuuuru2)2(21111。这是三层显示差分格式。截断误差阶为)(22hO。为了使计算能够逐层进行，除初值0ju外，还要用到1ju，这可以用前述二层差分格式计算（为保证精度，可将[0,]分成若干等份）。四．格式稳定性通过误差估计方程（1）可知对任意的r，Richardson格式都不稳定，所以Richardson格式绝对不稳定。（2）当210r时，向前差分格式趋于稳定；当21r时，向前差分格式的误差无限增长。因此向前差分格式是条件稳定。（3）向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定，且各自的截断误差阶分别为)(2hO和)(22hO。五．数值例子例1令f(x)=0和a=1，可求得u（x,t）一个解析解为u(x,t)=exp(x+t)。1．用向前差分格式验证得数值结果如下：请输入n的值(输入0结束程序):2请输入m的值(输入0结束程序):17xjtk真实值x[i][k]近似值u[i][k]误差err[i][k]0.3333330.0555561.4753411.4738670.0014740.6666670.0555562.0590042.0569470.0020570.3333330.1111111.5596231.5570370.0025860.6666670.1111112.1766302.1737190.0029110.3333330.1666671.6487211.6456190.0031020.6666670.1666672.3009762.2973850.0035910.3333330.2222221.7429091.7393730.0035360.6666670.2222222.4324252.4284450.0039810.3333330.2777781.8424771.8386470.0038310.6666670.2777782.5713842.5670480.0043370.3333330.3333331.9477341.9436200.0041140.6666670.3333332.7182822.7136510.0046300.3333330.3888892.0590042.0546320.0043720.6666670.3888892.8735712.8686440.0049270.3333330.4444442.1766302.1719920.0046380.6666670.4444443.0377323.0325120.0052200.3333330.5000002.3009762.2960680.0049080.6666670.5000003.2112713.2057440.0055260.3333330.5555562.4324252.4272330.0051930.6666670.5555563.3947233.3888780.0058450.3333330.6111112.5713842.5658940.0054910.6666670.6111113.5886563.5824750.0061810.3333330.6666672.7182822.7124760.0058050.6666670.6666673.7936683.7871330.0065350.3333330.7222222.8735712.8674340.00...
