1．4函数的单调性与最值考点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.定义当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________上升的下降的注：定义的两种形式设x1，x2∈D且x1＜x2，若fx1－fx2x1－x2＞0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(x)为增函数；若fx1－fx2x1－x2＜0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则f(x)为减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的________.(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当______________时，f(x)在区间D上均为增函数；当__________时，f(x)在区间D上为减函数．(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．增函数减函数单调区间f′(x)＞0f′(x)＜02．函数的最值(1)函数最值的定义前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有____________；(2)存在x0∈I，使得______________.(1)对于任意的x∈I，都有____________；(2)存在x0∈I，使得______________.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M(2)两条结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；②区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．考点自测1.在区间(－∞，1)上是增函数的是()A．y＝(x－1)－2B．y＝1x－1C．y＝log2(1－x)D．y＝21x解析：y＝log2(1－x)，y＝21x，y＝1x－1在(－∞，1)上均为减函数，y＝(x－1)－2在区间(－∞，1)上是增函数，故应选A.答案：A2．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由已知得：|1x|＞1⇒－1＜x＜0或0＜x＜1，故选C.答案：C3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是()A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)解析：令u＝(x＋1)(x－3)，当x＞3或x＜－1时，u为增函数，而f(x)的定义域为(3，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间是(3，＋∞)．故选A.答案：A4．若函数f(x)＝12x＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是()A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值解析：由于u(x)＝2x＋1在R上递增且大于1，则f(x)＝12x＋1在R上递减，无最小值，故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是______．解析：①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝3－aa必在x＝3的右边，即3－aa≥3，故0＜a≤34；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是0，34.答案：0，34疑点清源1.函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联接，也不能用“或”联接.题型探究题型一函数单调性的判定与证明例1.证明f(x)＝ax＋a－x在(0，＋∞)上是增函数(这里a＞0且a≠1)．证...
