1.4函数的单调性与最值考点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2.定义当x1<x2时,都有____________,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有____________,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________上升的下降的注:定义的两种形式设x1,x2∈D且x1<x2,若fx1-fx2x1-x2>0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(x)为增函数;若fx1-fx2x1-x2<0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则f(x)为减函数.(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的________.(3)若函数y=f(x)在区间D内可导,当______________时,f(x)在区间D上均为增函数;当__________时,f(x)在区间D上为减函数.(4)复合函数的单调性.若构成复合函数的内、外层函数单调性相同,则复合函数为增函数,否则为减函数.简称“同增异减”.增函数减函数单调区间f′(x)>0f′(x)<02.函数的最值(1)函数最值的定义前提设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有____________;(2)存在x0∈I,使得______________.(1)对于任意的x∈I,都有____________;(2)存在x0∈I,使得______________.结论M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M(2)两条结论:①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到;②区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.考点自测1.在区间(-∞,1)上是增函数的是()A.y=(x-1)-2B.y=1x-1C.y=log2(1-x)D.y=21x解析:y=log2(1-x),y=21x,y=1x-1在(-∞,1)上均为减函数,y=(x-1)-2在区间(-∞,1)上是增函数,故应选A.答案:A2.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(|1x|)<f(1)的实数x的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由已知得:|1x|>1⇒-1<x<0或0<x<1,故选C.答案:C3.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是()A.(3,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,-1)解析:令u=(x+1)(x-3),当x>3或x<-1时,u为增函数,而f(x)的定义域为(3,+∞),所以f(x)的单调递减区间是(3,+∞).故选A.答案:A4.若函数f(x)=12x+1,则该函数在(-∞,+∞)上是()A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析:由于u(x)=2x+1在R上递增且大于1,则f(x)=12x+1在R上递减,无最小值,故选A.答案:A5.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是______.解析:①当a=0时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上为减函数;②当a>0时,要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则对称轴x=3-aa必在x=3的右边,即3-aa≥3,故0<a≤34;③当a<0时,不可能在区间(-∞,3)上恒为减函数.综合知:a的取值范围是0,34.答案:0,34疑点清源1.函数的单调性是局部性质函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.2.函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.3.单调区间的表示单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联接,也不能用“或”联接.题型探究题型一函数单调性的判定与证明例1.证明f(x)=ax+a-x在(0,+∞)上是增函数(这里a>0且a≠1).证...