函数值域和最值求解中的多种思维方法VIP专享VIP免费

函数值域和最值求解中的多种思维方法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．配方法判别式法部分分式均值不等式换元法函数单调性导数法数形结合法例：当时，求函数的最大值和最小值．解析：，当时，．显然由二次函数的性质可得，．例：当时，求函数的最大值和最小值．解析：，当时，．显然由二次函数的性质可得，．例：已知，求的最值．解析：由已知，变形得，，则，即有故．因此，无最小值．例已知函数的值域为，求常数解析： ∴，即由题意：所以，，即，注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于的二次函数，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域或参数的值.形如(、不同时为0)，常用此法求得例：求函数的最值．解析：令，则，函数用心爱心专心当时，，当时取等号当时，令，则＝＝，因为，，即有，所以在[2，内递增．故，所以当时，，无最大值；当时，，无最大值．求函数的最值．例实数、适合：，设，则+=____解析：令，，则当时，；当时，．所以．四不等式法例求函数的最小值(、)．解析：当且仅当即时，函数取得最小值例24：求函数的最值．解析：将函数式变形为，只需求函数的最值．把看成两点，，，连线的斜率，(即为单位圆上的点)，则当直线为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过点的单位圆的切线方程为，即．则圆心到切线的距离为，解得：，．从而函数用心爱心专心最大值为；最小值为．例（０９1套）若24x，则函数xxy3tan2tan的最大值为解析：复合函数求最值，二倍角公式降元化统一，采用不同手段，可产生多种求解方法：法１，二倍角公式降元部分分式用不等式，用均值不等式求解。1tan11tan2tan1tan2tantan1tan2242432xxxxxxxy==2212(tan12)8tan1xx，2tanx时，max8.y法２，二倍角公式降元，二次函数通过配方求最值，xxy3tan2tan=，当2tanx时，max8.y法３，换元用均值不等式，由42x知tan1x，则4322tantan2tan1tanxyxxx，令21tan0tx则22(1)2224(2)48tyttttt≤，当且仅当21,tan2tx时等号成立.max8.y法４，换元导数法，令2tan1tx，42222tan22(1)2(2),21tan111xttttttyyxttt，令0(1),2ytt得，故当22,tan2tx时4222tan21tan1xtyxt有最大值8；感悟：求函数值域常用方法：二次函数的配方法、数形结合、单调性法、换元法、均值不等式法等方法是高考的必考知识点，对这些方法你可有明确的认识？关键是降元化归函数表达式，你可有降元意识？０９天津设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为解析：因为333ba，所以1ba，4222)11)((11baabbaabbababa，21ba时“=”．（09·山东12）设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最用心爱心专心大值为12，则23ab的最小值为解析：:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而23ab=2323131325()()26666abbaabab,故选A.感悟本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.（09海南12）用表示三个数中的最小值．设，则的最大值为（）A．4B．5C．6D．7解析：理解的含义，数形结合确定的表达式：,所以的最大值为（08江苏卷）已知，，则的最小值．分析：本...