人教版高三数学不等式证明、反证法、放缩法等，以及不等式的应用VIP免费

高三数学不等式证明、反证法、放缩法等，以及不等式的应用一.本周教学内容：不等式证明、反证法、放缩法等，以及不等式的应用［基本知识］1.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法叫做反证法，分四步：（1）假设与结论相反的结论成立；（2）导出矛盾；（3）矛盾的原因是“假设”不成立；（4）所以原结论成立。2.放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B1，B1≤B2……≤A（或A≥A1≥A2≥……Ai≥……≥B），再利用不等式的传递性，得证。这种方法叫做放缩法。（1）放缩是证明不等式的重要方法，注意放或缩的方向必须一致，而且其难点在于放或缩都必须恰到好处。3.换元法：换元法是指通过引入新变量代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式，常见的换元法有三角代换、平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换等。4.判别式法：判别式法是指根据已知的或构造出来的一元二次不等式、二次函数的根的解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。5.不等式的应用：不等式的应用主要有以下两种：利用均值定理，求某些问题的最大值与最小值；利用不等式求函数的定义域、值域，讨论参数的取值范围及用于非不等式问题转化为不等式问题。注意：利用不等式求最值，主要是用均值不等式：aaanaaaainnnni1212012………………，其中(,,,)（1）当a1＋a2＋……＋an＝M（常数）时，积a1·a2……an有最大值，其最大值为，当且仅当时取最大值。……()Mnaaann12（2）当a1·a2……an＝N（常数）时，其和a1＋a2＋……＋an有最小值，其中最小值为当且仅当时取得最小值，利用公式求最值必须同时满，……nNaaann12足以下三条件：（I）正（各项均为正）；（II）定（其和或积为定值（常数））；（III）等（等号必须成立）。利用基本不等式求最值问题应用非常广泛，特别是在函数、数列、解析几何与立体几何中应用特别多，故应多加注意。二.重点、难点：重点：不等式证明方法的掌握和利用基本不等式求最值。难点：灵活运用证明不等式方法处理问题的能力，和不等式与其他知识的综合运用。【典型例题】例1.已知a>0，b>0且a+b>2，求证：112baab，中至少有一个小于用心爱心专心115号编辑分析：可以假设112baab，都不小于，导出矛盾，从而得证。证明：假设1212baab，abbaab001212，，()()()112baababab22与已知矛盾()假设不成立，故中至少有一个小于，112baab小结：此题所证结论的形式较为适合反证法，还有一些有关所证结论为否定命题的试题也比较适合反证法。例2.已知且。，、、fxxxcxaxacR()()21求证：fxfaa()()()21证明：fxfaxxcaac()()22()()()()()()xaxaxaxaxaxaxaaxaaaa11212112121fxfaa()()()21小结：此题用了放缩证明结论，而放缩时用了绝对值不等式的性质abab，同时应特别关注条件|x-a|<1的应用，应该说每一步都是围绕此条件展开。例3.已知，求证：，，abRabaabb2222438320分析：abarbr224，故可用三角换元令，，代入所证式子左边cossin利用三角函数的性质求证。证明：abRab，，224令，其中，arbrrsincos0238332425452352523422222aabbrrrtgcossinsincossin()（其中）5202r原不等式成立小结：如果条件中有平方和等于1或平方和小于等于某一个正数，或是其变量位于[-1，1]，[0，1]等类似的区间内可以考虑用三角代换，当然接下来的三角变换，要求必须熟悉三角公式才行。例4.设……Snnn12231()求证：nnSnnNn()()()12122用心爱心专心115号编辑证明：Snn12222……12312……nnn()SnnSnnnn()()1212223212又……12357211212[()]()……nnSnn1212()小结：此...