高中数学例谈轨迹问题中的以静制动策略专题辅导刘族刚葛红艳在求轨迹（轨迹方程）的问题中，动点或动曲线的变化因素很多，解题方法也变化多样，但在某些轨迹问题中，若注意到运动变化中的不变元素，往往可以达到以静制动、以不变应万变的功效。本文以举例的方式加以探讨，希望能够达到抛砖引玉的作用。例1（2003年高考）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，a为正常数，O为AB的中点，E、F、G分别为边BC、CD、DA上的点，且，OF与EG的交点为P，问是否存在两个定点，使P到这两定点距离之和为定值，若存在，求出这两个定点及定值，若不存在，说明理由。分析：本题一般的解法是参数法与交轨法相结合，较为繁琐，尽管点E、F、G、P运动，直线EG、OF也相应运动，但注意到直线EG恒过定点M（0，2a），于是就可将问题简化。解：以AB所在直线为x轴，以O为原点建立直角坐标系（如图1），设P（x，y），由知直线EG恒过定点M（0，2a），由P、M、E和O、P、F三点共线，得，又由得，化简得（1）当时，P的轨迹为圆弧，不存在符合题意的定点与定值；（2）当时，P的轨迹为椭圆一部分，椭圆的两焦点是符合题意的定点，若时，定点为，定值为；若时，定点为，定值为2a。例2过抛物线的顶点O作两互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求矩形AOBC的顶点C的轨迹方程。分析：本题的解法很多，通常采用参数法（如以直线OA的斜率为参数）求解，若注意到直线AB恒过定点M（2p，0），则问题可以简化。解：设，则，由已知OA⊥OB，容易证明直线AB过定点M（2p，0）（证明从略，读者自证），用心爱心专心则顶点C的轨迹方程为本题变式：（2001年京、皖蒙春季高考）O为抛物线的顶点，A、B是抛物线上异于O的两点，且OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程。参考答案：例3如图2，AC为圆O：的直径，B（），M为圆上的动点，过MB的中点K作KP⊥AM于P，求点P的轨迹。分析：本题通常采用参数法（如设M（）），但运算较为繁琐，如果注意到直线PH恒过弦BC的中点N，则此题很容易求解。解：设P（x，y），由三角形的中位线定理，易知直线PH恒过BC的中点N（3，），则，由PH⊥AM得，则即从而点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆。用心爱心专心
