重点强化课(四)直线与圆[复习导读]1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．重点1直线方程与两直线的位置关系(1)(2017·江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点()A．(1，－3)B．(4,3)C．(3,1)D．(2,3)(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()【导学号：66482389】A．－或－B．－或－C．－或－D．－或－(1)C(2)D[(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由解得则直线过定点(3,1)．(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.][规律方法]1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．[对点训练1](2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为()A．7B．9C．11D．16B[直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，又m>0，n>0，得＋＝1.∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝时取等号．∴2m＋n的最小值为9.]重点2圆的方程(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y－1＝01(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2B．8C．4D．10(1)C(2)C[(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)．∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.][规律方法]求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．[对点训练2](2017·河北唐山二模)直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．(x－1)2＋(y－1)2＝1[由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|.直线l的方程＋＝1可化为3x＋4y－12＝0，由题意可得＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)．∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]重点3直线与圆的综合问题☞角度1圆的切线如图1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．图1(1)(x－1)2＋(y－)2＝2(2)－－1[(1)由题意知点C的坐标为(1，)，圆的半径r＝.所以圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.(2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中，令x＝0，解得y＝±1，故B(0，＋1)．2直线BC的斜率为＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋＋1.令y＝0，解得x＝－－1，故所求截距...
