【成才之路】2015-2016学年高中数学4.2.2最大值、最小值问题第2课时练习北师大版选修1-1一、选择题1．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对[答案]B[解析]设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．2．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cmB．cmC.cmD．cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．3．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．C．－1D．－8[答案]C[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.4．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[答案]A[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC．RD．R[答案]C1[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.当00；当0，∴当r＝时，表面积最小．二、填空题7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案]3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，∴S′(R)＝2πR－，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．[答案]20[解析]设船速为每小时x(x＞0)千米，燃料费为Q元，则Q＝kx3，由已知得：6＝k·103，∴k＝，即Q＝x3.记行驶每千米的费用总和为y元，则y＝(x3＋96)·＝x2＋y′＝x－，令y′＝0，即x－＝0，解之得：x＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．三、解答题9．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[答案]水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3[解析]设水箱底边长为xcm，则水箱高为h＝60－(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0
