第5节三角恒等变换1.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.-D.-解析:B[cos2α=1-2sin2α=1-=.]2.已知α,β都是锐角,若sinα=,sinβ=,则α+β等于()A.B.C.和D.-和-解析:A[由于α,β都为锐角,所以cosα==,cosβ==.所以cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=,所以α+β=.]3.(2019·新乡市一模)已知<α<π且sin=,则cos等于()A.B.C.D.解析:D[∵<α<π,sin=,∴<α+<,可得cos=-=-,∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.]4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为()A.B.1C.D.解析:A[由两角和差公式得f(x)=+cosx+sinx=sinx+cosx=sin,因为-1≤sin≤1,故函数f(x)的最大值为.]5.(2019·洛阳市一模)若锐角φ满足sinφ-cosφ=,则函数f(x)=cos2(x+φ)的单调增区间为()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析:D[锐角φ满足sinφ-cosφ=,∴1-2sinφcosφ=,∴sin2φ=;又sinφ>,∴2φ=,解得φ=;∴函数f(x)=cos2(x+φ)==+cos,∴2kπ-π≤2x+≤2kπ,(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z);∴f(x)的单调增区间为(k∈Z),即(k∈Z).]6.已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.解析:∵θ是第四象限角,∴-+2kπ<θ<2kπ,则-+2kπ<θ+<+2kπ,k∈Z.又sin=,∴cos===,∴cos=sin=,sin=cos=,∴tan=-tan=-=-=-.答案:-7.(2018·贵阳市一模)已知tan(π+α)=2,则cos2α+sin2α=________.解析:∵tan(π+α)=tanα=2,∴sin2α+cos2α====.答案:8.(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:______________________________________.解析:两个图的阴影部分面积相等,题图1中大矩形面积为:S=(cosα+cosβ)(sinα+sinβ)=sin(α+β)+sinαcosα+sinβcosβ,减去四个小直角三角形的面积得S1=S-sinαcosα-sinβcosβ=sin(α+β),题图2中阴影部分面积为S2=sinαcosβ+cosαsinβ.答案:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ9.(2019·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,).(1)求sin2α-tanα的值;(2)若函数f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的值域.解:(1)∵角α的终边经过点P(-3,),∴sinα=,cosα=-,tanα=-.∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-+=-.(2)∵f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα=cosx,x∈R,∴g(x)=cos-2cos2x=sin2x-1-cos2x=2sin-1,∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.∴-≤sin≤1,∴-2≤2sin-1≤1,故函数g(x)=f-2f2(x)在区间上的值域是[-2,1].10.已知α∈,且sin+cos=.(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cosβ的值.解:(1)因为sin+cos=,两边同时平方,得sinα=.又<α<π,所以cosα=-=-.(2)因为<α<π,<β<π,所以-<α-β<.又由sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-×+×=-.