第5节三角恒等变换1．(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．－解析：B[cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.]2．已知α，β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β等于()A.B.C.和D．－和－解析：A[由于α，β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝.]3．(2019·新乡市一模)已知<α<π且sin＝，则cos等于()A.B.C.D.解析：D[∵<α<π，sin＝，∴＜α＋＜，可得cos＝－＝－，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.]4．(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A.B．1C.D.解析：A[由两角和差公式得f(x)＝＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin，因为－1≤sin≤1，故函数f(x)的最大值为.]5．(2019·洛阳市一模)若锐角φ满足sinφ－cosφ＝，则函数f(x)＝cos2(x＋φ)的单调增区间为()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析：D[锐角φ满足sinφ－cosφ＝，∴1－2sinφcosφ＝，∴sin2φ＝；又sinφ＞，∴2φ＝，解得φ＝；∴函数f(x)＝cos2(x＋φ)＝＝＋cos，∴2kπ－π≤2x＋≤2kπ，(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)；∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)，即(k∈Z)．]6．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.解析：∵θ是第四象限角，∴－＋2kπ<θ<2kπ，则－＋2kπ<θ＋<＋2kπ，k∈Z.又sin＝，∴cos＝＝＝，∴cos＝sin＝，sin＝cos＝，∴tan＝－tan＝－＝－＝－.答案：－7．(2018·贵阳市一模)已知tan(π＋α)＝2，则cos2α＋sin2α＝________.解析：∵tan(π＋α)＝tanα＝2，∴sin2α＋cos2α＝＝＝＝.答案：8．(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______________________________________.解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为：S＝(cosα＋cosβ)(sinα＋sinβ)＝sin(α＋β)＋sinαcosα＋sinβcosβ，减去四个小直角三角形的面积得S1＝S－sinαcosα－sinβcosβ＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S2＝sinαcosβ＋cosαsinβ.答案：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ9．(2019·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．10．已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．解：(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又＜α＜π，所以cosα＝－＝－.(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.又由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×＝－.
