高中数学圆锥曲线方程的“巧构”知识精讲VIP免费

高中数学圆锥曲线方程的“巧构”知识精讲黄永利圆锥曲线方程的“巧构”是构造法的一种应用。在解决某些从表面上看与圆锥曲线无关的问题时，根据该问题的背景、结构特点，通过观察、联想、恰当地构造出已经熟悉的某种圆锥曲线模型，以“形”助“数”，运用圆锥曲线的相关知识求解，达到解决原数学问题的目的。下面就构造圆锥曲线方程解决相关问题进行解析。一、“巧构”椭圆标准方程例1求的最小值。分析：根据函数的表达式可以联想到两点的距离公式，式中涉及一个动点（，）与两个定点A（－1，1）与F（1，0）。而动点的坐标恰好满足椭圆方程，F（1，0）为椭圆的一个焦点，A（－1，1）为椭圆内一定点，再结合椭圆对应图形的特点，问题就可顺利得解。解：令，，则点（x,y）在椭圆上，其右焦点F（1，0）设椭圆内部一点A（－1，1），原问题转化为：椭圆上一点M，求|MA|＋2|MF|的最小值问题，如上图。过点M作椭圆的右准线x=4的垂线，垂足为N，根据椭圆第二定义又得，显然A、M、N三点共线时取得最小值，不难求得最小值5。点评：本题函数的最值问题用通常的方法解答比较难解，因为它涉及到诸多知识点，上面解法借助于数形结合的方法，巧妙构造椭圆，使抽象的问题得到了形象化和简单化，达到了化难为易，避免繁琐的运算，轻松解题的目的。二、“巧构”双曲线标准方程例2解方程分析：原方程转化为，其结构反映出具有双曲线的定义特征，因此可构造双曲线来解决。解：原方程变为令y=0，则此方程表示动点（x，y）到两个定点（，0）与（，0）的距离相差为的点的轨迹，所以用心爱心专心表示双曲线，其方程为。然后将y=0代入双曲线方程得，，所以原方程的解为，。点评：解无理方程的关键是去掉根号，对某些较复杂的无理方程，对其表达式进行适当变形，使变形式所表示的几何意义符合圆锥曲线的定义进行转化，再利用圆锥曲线的方程求解。三、“巧构”抛物线标准方程例3已知a,b>0，a≠b，且，求的最小值。分析：根据两点的距离公式知题设条件中的等式中涉及两个点A（a，），B（b，），而这两个点恰好是抛物线上不同的两点，AB线段则是抛物线的一条长度为定值的动弦，由此再利用抛物线的相关知识求解。解：设A（a，）、B（b，），则A、B是抛物线上不同的两点，分布在x轴的上下两侧，故原问题转化为：求抛物线上长度为3的弦AB两个端点横坐标和的最小值。过A、B两点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、故∴故a=b的最小值为点评：本题若直接利用题设条件中的等式进行推导，则很难得出结论，而上面的解法则是根据等式的结构特点，利用两点坐标的纵横坐标的结构构造抛物线方程，再利用抛物线的直观、形象的特点使问题得到了解决，体现了数形结合的思想。上面三例由原题进行适当的变形、换元，通过仔细观察、分析，从而联系到圆锥曲线的定义、性质，利用数形结合，使原题化难为易，得到求解的目的，这都是数学问题的一种“巧解”。在这里不得不提醒各位同学，在平时的学习中不要过分追求数学问题的“巧解”，要注重通性、通法的掌握，这是因为数学中的“巧解”掩盖了基本思想方法的渗透。“巧解”往往有局限性，实用的范围相对于通性通法一般都比较特殊和窄小，换一个条件或变一个简单的结论，就会使之完全丧失针对性，因此巧解并不能从根本上解决问题。同时，基本思想方法是一种解决问题的通法，具有普遍性、指导性，要想从根本上解决问题，理应首先追求其通法——基本思想方法，而一味追求巧解，必然缺乏对基本思想方法的挖掘和相应的训练，从而冲淡和掩盖了对基本方程的渗透。用心爱心专心