高中数学一类应用题的统一解法知识点分析VIP专享VIP免费

高中数学一类应用题的统一解法有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。例1某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A，它的左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不超过定值l。问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。图1aabb解：设版面左、右长为x，上、下宽为y则有Axy（x>0，y>0）设每张印刷品所用纸张面积为S则SxaybAabbxaAxxla()()()()2242202（）（1）当2aaAbl时，224bxaAxabA，当且仅当22bxaAx时取“=”号，解得xaAbybAa，即此时左右长为2aaAb，上下宽为2bbAa（2）当2aaAbl时因为02xlaaAb所以()lax20且bxlabaAbaAbaA()2所以[()]()blaAlabxaAx222[()]()()laxblaxaAlax2220当xla2时取等号，即选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为22bAla用纸量最小。用心爱心专心综上所述，当2aaAbl时，选择左右尺寸为2aaAb时，上、下尺寸为2b+bAa;当2aaAbl时，选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为22bAla所用纸量最小。例2一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s（千米），水速为常量p（千米/时），船在静水中的最大速度为q（千米/时）（q>p）。已知船每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为k。（I）把全程燃料费用y（元）表示为静水中速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解：（I）依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为svp，全程燃料费用为：ykvsvp2，故所求函数及其定义域为：ykvsvpksvvpvpq22，，(]（II）由题意知k、s、v、p、q均为正数，且v>p，故有yksvppvppksppksp[()]()22224当且仅当vppvp2，即vp2时上式取等号若2pq，则当vp2时，全程燃料费用y最小。若2p>q，当vpq(]，时，有ksvvpksqqpksqvpqpvqvvpqp22()()()()因pvqpvpqpqv2000，故，，又pqpvqvpvpvqvpqv()20所以ksvvpksqqp22当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用最小。综上知，为使全程燃料费用最小，当2pq时，船的实际前进速度为p；当2p>q时，船的实际前进速度应为qp。例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；用心爱心专心（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：（I）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为yasvbvsvsavbv2()故所求函数及其定义域为：ysavbvvv()(]，，0（II）依题意知s，a，b，v都为正数，故有savbvsab()2当且仅当avbvvab，即时上式中等号成立若abcvab，则当时上式中等号成立若abcvc，当，(]0时，有savbvsacbc()()savacbvbcsvccvabcv[()()]()()因为cvabc02，且，故有abcvabc20所以savbvsacbc()()，且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时，全程运输成本y最小。综上知，为使全程运输成本y最小，当abbc时行驶速度应为vabb；当abbc时行驶速度应为v=c。哈尔滨师范大学（150080）用心爱心专心