高中数学一类应用题的统一解法有关应用题中最值问题,在实际条件的约束下,不能仅靠使用重要不等式求出最值,需要借助比较法,把问题转化为与端点值的大小关系问题。例1某种印刷品,单面印刷,其版面(如图中阴影部分)排成矩形,版面面积为A,它的左右两边都要留宽为a的空白,上下两边都要留有宽为b的空白,且印刷品左右长度不超过定值l。问:如何选择尺寸(纸张也是矩形),才能使印刷品所用纸张面积最小?从而使印刷的总用纸量最小。图1aabb解:设版面左、右长为x,上、下宽为y则有Axy(x>0,y>0)设每张印刷品所用纸张面积为S则SxaybAabbxaAxxla()()()()2242202()(1)当2aaAbl时,224bxaAxabA,当且仅当22bxaAx时取“=”号,解得xaAbybAa,即此时左右长为2aaAb,上下宽为2bbAa(2)当2aaAbl时因为02xlaaAb所以()lax20且bxlabaAbaAbaA()2所以[()]()blaAlabxaAx222[()]()()laxblaxaAlax2220当xla2时取等号,即选择左、右尺寸为l,上、下尺寸为22bAla用纸量最小。用心爱心专心综上所述,当2aaAbl时,选择左右尺寸为2aaAb时,上、下尺寸为2b+bAa;当2aaAbl时,选择左、右尺寸为l,上、下尺寸为22bAla所用纸量最小。例2一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时)(q>p)。已知船每小时燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k。(I)把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(II)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(I)依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为svp,全程燃料费用为:ykvsvp2,故所求函数及其定义域为:ykvsvpksvvpvpq22,,(](II)由题意知k、s、v、p、q均为正数,且v>p,故有yksvppvppksppksp[()]()22224当且仅当vppvp2,即vp2时上式取等号若2pq,则当vp2时,全程燃料费用y最小。若2p>q,当vpq(],时,有ksvvpksqqpksqvpqpvqvvpqp22()()()()因pvqpvpqpqv2000,故,,又pqpvqvpvpvqvpqv()20所以ksvvpksqqp22当且仅当v=q时等号成立,即当v=q时,全程燃料费用最小。综上知,为使全程燃料费用最小,当2pq时,船的实际前进速度为p;当2p>q时,船的实际前进速度应为qp。例3甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元。(I)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;用心爱心专心(II)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解:(I)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv,全程运输成本为yasvbvsvsavbv2()故所求函数及其定义域为:ysavbvvv()(],,0(II)依题意知s,a,b,v都为正数,故有savbvsab()2当且仅当avbvvab,即时上式中等号成立若abcvab,则当时上式中等号成立若abcvc,当,(]0时,有savbvsacbc()()savacbvbcsvccvabcv[()()]()()因为cvabc02,且,故有abcvabc20所以savbvsacbc()(),且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时,全程运输成本y最小。综上知,为使全程运输成本y最小,当abbc时行驶速度应为vabb;当abbc时行驶速度应为v=c。哈尔滨师范大学(150080)用心爱心专心