第19讲导数的应用【知识要点】一、用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数二、求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值.三、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.【方法讲评】应用一求函数的单调性解题步骤求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.【例1】已知函数,求导函数,并确定的单调区间.所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．【点评】（1）求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间.（2）注意分类讨论的思想.【反馈检测1】已知函数应用二求函数的极值解题步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.【例2】已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.（2），∴， 在区间上有最值，∴在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，又，∴则题意知：对任意，恒成立，∴，因为，∴，对任意，恒成立∴， ，∴∴.【点评】（1）考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程在上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为恒成立，利用分离参数得解.【反馈检测2】设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．应用三求函数的最值解题步骤（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.【例3】已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）的定义域为，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.故是上的增函数，所以的最小值是，所以的取值范围是.【点评】（1）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值.（2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用.【反馈检测3】已知函数(Ⅰ)当时,求的最大值;(Ⅱ)设,是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.应用四证明不等式解题步骤一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.【例4】求证下列不等式（1）（2）（3）（2）原式令∴∴因为∴（3）令因为∴∴【方法点评】证明函数不等式，一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.【反馈检测4】设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有．应用五解应用题解题步骤（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数，解方程；（4）如果函数的定义域...
