考查角度1三角函数图象与性质的综合应用分类透析一三角函数的图象及解析式例1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M(2π3,-2).(1)求f(x)的解析式;(2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象.分析(1)x轴上相邻两个交点之间的距离是半个周期,由周期可确定ω,由图象过点M可确定A,φ.(2)用“五点法”作图,先做变量代换,然后列表、描点、连线.解析(1)由最低点为M(2π3,-2),得A=2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2,得T2=π2,即T=π,∴ω=2πT=2ππ=2.又点M(2π3,-2)在函数f(x)的图象上,∴2sin2×2π3+φ=-2,即sin(4π3+φ)=-1,∴4π3+φ=2kπ+3π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π6(k∈Z).又φ∈(0,π2),∴φ=π6.故f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+π6.(2)列表如下:2x+π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120-201其图象如图所示.方法技巧(1)求函数表达式,比较难求的是φ,可以用“五点法”中的第一个点(-φω,0)作为突破口或者将已知点的坐标代入解析式,要尽量选最值点.(2)作函数图象一般用“五点法”.若用图象变换来作图,常常先平移后伸缩,这样就不容易出错,但考题中也有先伸缩后平移的,无论哪种变形,切记每个变换总是对x而言.分类透析二三角函数的性质例2已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-2.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)求f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间;(3)当x∈[π4,3π4]时,求函数f(x)的最大值和最小值.分析(1)化简函数解析式,求出对称轴方程.(2)根据正弦函数的单调递减区间,求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间.(3)先确定ωx+φ的范围,然后根据范围求最值.解析(1)f(x)=1+sin2x+1+cos2x-2=sin2x+cos2x=❑√2sin(2x+π4).令2x+π4=kπ+π2,k∈Z,则x=kπ2+π8,所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=kπ2+π8,k∈Z.(2)令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2,k∈Z,则kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z.又x∈[0,π],令k=0,得π8≤x≤5π8,所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为[π8,5π8].(3)因为x∈[π4,3π4],所以3π4≤2x+π4≤7π4,所以-1≤sin2x+π4≤❑√22,所以-❑√2≤f(x)≤1.故当x∈[π4,3π4]时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-❑√2.方法技巧(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性等问题时,往往先在定义域内化简三角函数式,尽量先化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后再求解.(2)讨论函数y=Asin(ωx+φ)+B的单调性、值域时,可以利用换元思想设t=ωx+φ,转化成y=Asint+B的形式,再结合函数的图象求解.分类透析三三角函数图象与性质的综合应用例3已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a-❑√3c)cosB=❑√3bcosC,求f(A2)+sinC的取值范围.分析(1)先利用函数的图象,求出A,再通过函数的周期求出ω,最后通过函数的图象经过点(π6,2),求出φ,即可解出函数f(x)的解析式.(2)由(2a-❑√3c)cosB=❑√3bcosC,结合正弦定理,求出cosB,利用函数的解析式求f(A2)+sinC的表达式,通过A的范围求出函数的取值范围.解析(1)由图象知,A=2,T=2(2π3-π6)=π,∴ω=2πT=2.由图象可知,f(π6)=2,∴2cos(2×π6+φ)=2,∴cosπ3+φ=1,∴π3+φ=2kπ,φ=-π3+2kπ,k∈Z.又 |φ|<π2,∴φ=-π3,∴f(x)=2cos(2x-π3).(2) (2a-❑√3c)cosB=❑√3bcosC,∴(2sinA-❑√3sinC)cosB=❑√3sinBcosC,即2sinAcosB=❑√3(sinBcosC+cosBsinC)=❑√3sin(B+C)=❑√3sinA, sinA≠0,∴cosB=❑√32.又B∈(0,π),∴B=π6,∴A+C=5π6.由(1)知,f(A2)+sinC=2cos(A-π3)+sinC=cosA+❑√3sinA+sin(5π6-A)=cosA+❑√3sinA+12cosA+❑√32sinA=3sin(A+π6).又 A∈(0,5π6),∴A+π6∈(π6,π),∴sin(A+π6)∈(0,1],∴f(A2)+sinC的取值范围是(0,3].方法技巧三角形中取值范围问题的解题思路:建立所求量(或式子)与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,所求量(或式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.注意利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范...
