第49讲数学归纳法1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(D)A．1B．2C．3D．42．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除，第二步假设应写成(D)A．假设n＝k(k为正奇数)时命题成立，再推证n＝k＋1时命题成立B．假设n＝2k＋1时(k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋2时命题成立C．假设n＝2k＋1时(k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋3时命题成立D．假设n＝2k－1时(k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋1时命题成立k为正奇数时，k＋1为正偶数，A不正确；2k＋1为正奇数时，2k＋2为正偶数，B不正确；2k＋1与2k＋3(k∈N*)虽为相邻两正奇数，但1未包含其中，故C也不正确，应选D.3．平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系为(D)A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2D．f(k＋1)＝f(k)＋k当k条直线再增加一条时，这条直线与前k条直线都有交点，故当增加一条直线时，就增加了k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k.4．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(D)A.B.C.＋D.－因为f(n)为从n＋1到2n之间的连续正整数的倒数之和，所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，故f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第一步要验证的不等式是1＋＋<2.6．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2an(n∈N*)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝.用不完全归纳法可得an＝.也可直接求出：因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，两式相减得an＝n2an－(n－1)2an－1，即＝(n≥2)，故an＝a1···…·＝.7．设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想：an＝.(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时，猜想正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝，这说明，n＝k＋1时猜想也正确．由①②可知，对于任意n∈N*，都有an＝成立．8．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(C)A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立如果n＝4时命题成立，那么由题设，可推得n＝5时命题也成立，上面的判断作为一个命题，它的逆否命题是：如果n＝5时命题不成立，那么n＝4时命题也不成立，依据原命题等价于逆否命题，即原命题成立，则逆否命题也一定成立，应选C.9．平面上有k个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不交于同一点，则在k个圆的基础上再增加一个圆，k＋1个圆将平面分成的区域在k个圆的基础上增加2k块．当n＝k＋1时，平面上增加了第k＋1个圆，它与原来的k个圆的每一个圆都相交于两个不同的点，共2k个交点，这2k个交点将第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，故区域共增加了2k块．10．设数列{}的前n项和为Sn.(1)求Sn；(2)问是否存在自然数n0，使得对n>n0的一切自然数n都有Sn>2－？若存在，求最小的自然数n0，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．(1)Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋＋…＋，②由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－.所以Sn＝2－－＝2－.(2)要Sn>2－，只需<，亦即<1.①当n＝6时，＝＝<1成立．②假设当n＝k(k≥6)时不等式成立，即<1.则当n＝k＋1时，＝·<<1.由①②可知，当n>5时，<1，即Sn>2－.而当n＝5时，＝>1，从而Sn<2－.因此，存在最小的自然数n0＝5，对n>n0的一切自然数n都有Sn>2－成立．
