课时提升作业(二十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·天津高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)=()A.-3B.-C.3D.【解析】选D.tan(α-β)===.【补偿训练】已知tanα=，tanβ=，并且α，β均为锐角，则α+2β的值为()A.B.C.D.【解析】选A.因为tanα=<1，tanβ=<1，且α、β均为锐角，所以0<α<，0<β<.所以0<α+2β<.又tan2β==，所以tan(α+2β)===1.所以α+2β=.2.已知tan=2，tan=，则tan(α+β)=()A.8B.C.12D.【解析】选C.因为tan=2，tan=，所以tan(α+β)=tan===12.3.tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)的值等于()A.B.1C.D.【解析】选B.因为=tan30°=，所以tan10°+tan20°=(1-tan10°tan20°).所以原式=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.【补偿训练】已知tanα+tanβ=2，tan(α+β)=4，则tanα·tanβ=________.【解析】因为tan(α+β)=，所以1-tanαtanβ===，所以tanα·tanβ=1-=.答案：4.(2015·绵阳高一检测)设向量a=(cosα，-1)，b=(2，sinα)，若a⊥b，则tan等于()A.-B.C.-3D.3【解析】选B.因为a⊥b，所以a·b=(cosα，-1)·(2，sinα)=2cosα-sinα=0，所以tanα==2，所以tan===.5.在△ABC中，若00，tanC>0，1-tanBtanC>0，所以tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角，从而A为钝角.【一题多解】选B.因为00，所以cosA<0，所以A为钝角.二、填空题(每小题5分，共15分)6.tan105°=________.【解析】tan105°=tan(60°+45°)======-2-.答案：-2-【补偿训练】=________.【解析】原式===tan(45°-15°)=tan30°=.答案：7.(2015·江苏高考)已知tanα=-2，tan(α+β)=，则tanβ的值为________.【解题指南】将β作为β=(α+β)-α，利用两角差的正切公式求解.【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]=.因为tanα=-2，tan(α+β)=，所以上式==3.答案：3【补偿训练】若tan(α+β)=，tan=，则tan=________.【解析】因为α+=(α+β)-，所以tan=tan===.答案：8.在平面直角坐标系xOy中，已知以x轴非负半轴为始边的角α，β的终边分别经过点(-4，3)，(3，4)，则tan(α+β)=________.【解析】由题意结合三角函数的定义可得tanα=-，tanβ=，由两角和的正切公式可得tan(α+β)===.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知sinα=，α为第二象限角，且tan(α+β)=1，求tanβ的值.【解析】由sinα=，α为第二象限角，得cosα=-，则tanα=-，所以tanβ=tan[(α+β)-α]===7.10.已知tan(π+α)=-，tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-，所以tanα=-，因为tan(α+β)==，所以tan(α+β)==.(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=，所以tanβ==.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α=20°，β=25°，则(1+tanα)(1+tanβ)的值为()A.1B.2C.1+D.1+【解析】选B.因为tan45°=tan(20°+25°)==1，所以tan20°+tan25°=1-tan20°tan25°，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tan20°+tan25°+tan20°·tan25°=1+1-tan20°tan25°+tan20°tan25°=2.2.若tanα=lg(10a)，tanβ=lg，且α+β=，则实数a的值为()A.1B.C.1或D.1或10【解析】选C.因为tan(α+β)=1，所以==1.所以lg10+lga-lga=1-(lg10+lga)(-lga)所以(lga)2+lga=0，所以lga=0或lga=-1，即a=1或.【误区警示】解答本题容易因为对数运算性质应用不当导致运算错误.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·开远高一检测)已知cosθ=-，θ∈，则tan=________.【解析】因为cosθ=-，θ∈，所以sinθ=-=-，所以tanθ==.所以tan===-.答案：-4.若α+β=，tanα+(tanαtanβ+c)=0(c为常数)，则tanβ=________.【解析】因为α+β=，所以tan(α+β)==，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=，所以tanα+tanαtanβ+c=-tanβ+c=0，所以tanβ=(c+1).答案：(c+1)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·吉林高一检测)设α，β∈，tanα，tanβ是一元二次方程x2+3x+4=0的两个根，求α+β的值.【解析】由根与系数的关系得：所以tan(α+β)===.又由α，β∈，且tanα<0，tanβ<0(因为tanα+tanβ<0，tanαtanβ>0)得α+β∈(-π，0)，所以α+β=-.6.已知tan=2，tanβ=，(1)求tanα的值.(2)求的值.【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开，转化为关于tanα的方程求tanα.(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开化简原式，然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切，并用公式求值.【解析】(1)因为tan=2，所以=2，所以=2，解得tanα=.(2)====tan===.
