第6课时同角三角函数的基本关系(2)对应学生用书P11知识点一化简问题1．当2kπ－≤α≤2kπ＋(k∈Z)时，化简＋的结果是()A．2sinαB．－2sinαC．2cosαD．－2cosα答案C解析当2kπ－≤α≤2kπ＋(k∈Z)时，sinα＋cosα>0，cosα－sinα>0，∴＋＝＋＝|sinα－cosα|＋|sinα＋cosα|＝cosα－sinα＋sinα＋cosα＝2cosα．2．化简：．解原式＝＝＝＝＝＝＝＝．知识点二求值问题3．已知－0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－．(2)解法一：由已知条件及(1)，可知解得∴＝＝．解法二：由已知条件及(1)，可知∴＝＝＝．4．已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋cos2α．解(1)原式的分子、分母同除以cos2α，得原式＝＝＝－．(2)原式＝＝＝＝．知识点三证明问题5．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα＝＋．证明＋＝＋＝sinα＋cosα·＋sinα·＋cosα＝sinα＋cosα·＋sinαtanα＋cosα＝sinα(1＋tanα)＋cosα．6．求证：＝．证明左边＝＝＝＝＝右边．∴原等式成立．对应学生用书P12一、选择题1．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为()A．B．－C．D．－答案B解析由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝，∴2sinθcosθ＝，又θ∈，∴sinθ－cosθ＝－＝－．2．已知sinα－cosα＝，则tanα＝()A．－1B．－C．D．1答案A解析将等式sinα－cosα＝的两边平方，整理得1＋2sinαcosα＝0，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝0，∴(sinα＋cosα)2＝0，∴sinα＋cosα＝0，∴sinα＝－cosα．由已知得cosα≠0，∴tanα＝＝－1．故选A．3．下列结论能成立的是()A．sinα＝且cosα＝B．tanα＝2且＝C．tanα＝1且cosα＝D．sinα＝1且tanα·cosα＝答案C解析同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C成立．4．若π<α<，＋的化简结果为()A．B．－C．D．－答案D解析 π<α<，∴sinα<0．原式＝＋＝＋＝－，故选D．5．化简的结果是()A．cos160°B．－cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|答案B解析 cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°．二、填空题6．若2cosα＋sinα＝，则＝________．答案2解析将已知等式两边平方，得4cos2α＋sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得4sin2α－4sinαcosα＋cos2α＝0，即(2sinα－cosα)2＝0，则2sinα＝cosα，故＝2．7．若cos2x＋cosx＝1，则sin4x＋sin2x的值等于________．答案1解析 cos2x＋cosx＝1，∴cosx＝1－cos2x＝sin2x，∴sin4x＋sin2x＝cos2x＋cosx＝1．8．若tanα＝2，则＋cos2α＝________．答案解析原式＝＋＝＋＝＋＝．三、解答题9．已知0<α<，若cosα－sinα＝－，求的值．解由cosα－sinα＝－，得1－2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝，∴(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝．又0<α<，∴sinα＋cosα＝，与cosα－sinα＝－联立，解得sinα＝，cosα＝，∴＝＝＝＝．10．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m的值．解设直角三角形的一个锐角为β，因为方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中，Δ＝4(m＋1)2－4×4m＝4(m－1)2≥0，所以当m∈R时，方程恒有两实根．又因为sinβ＋cosβ＝，sinβcosβ＝，所以由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得1＋2×＝2，解得m＝±．当m＝时，sinβ＋cosβ＝>0，sinβ·cosβ＝>0，满足题意，当m＝－时，sinβ＋cosβ＝<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m＝．周周回馈练对应学生用书P13一、选择题1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，角的大小与角所在扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是()A．1B．2C...
