5.2.2同角三角函数的基本关系[A基础达标]1．若cosα＝，则(1＋sinα)(1－sinα)等于()A.B.C.D.解析：选B.原式＝1－sin2α＝cos2α＝，故选B.2．若α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝()A.B．－C.D．－解析：选D.因为tanα＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±.因为α是第四象限角，所以sinα＝－.3．(2019·安徽滁州期末)已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为()A．－B．－C.D.解析：选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcosθ的值为()A.B．－C.D．－解析：选A.由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝.因为θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sinθcosθ＝.5．如果tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ＝()A.B.C.D.解析：选B.1＋sinθcosθ＝＝＝，又tanθ＝2，所以1＋sinθcosθ＝＝.6．已知＝，则tanα＝____________．解析：由＝，得＝，解之得tanα＝－.答案：－7．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________．解析：因为tanα＋＝3，所以＋＝3，即＝3，所以sinαcosα＝.答案：8．已知＝－5，那么tanα＝________．解析：易知cosα≠0，由＝－5，得＝－5，解得tanα＝－.答案：－9．化简下列各式：(1)；(2)tanα(其中α是第二象限角)．解：(1)＝＝＝＝1.(2)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanα＝tanα＝tanα＝·＝·＝－1.10．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα·＝＋.证明：左边＝sinα＋cosα＝sinα＋＋cosα＋＝＋＝＋＝右边．即原等式成立．[B能力提升]11．若△ABC的内角A满足sinAcosA＝，则sinA＋cosA的值为()A.B．－C.D．－解析：选A.因为A为△ABC的内角，且sinAcosA＝＞0，所以A为锐角，所以sinA＋cosA＞0.又1＋2sinAcosA＝1＋，即(sinA＋cosA)2＝，所以sinA＋cosA＝.12．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则＋＝________．解析：因为＋＝＋，又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限，当α在第二象限时，原式＝＋＝0，当α在第四象限时，原式＝＋＝0.综上所述，原式＝0.答案：013．已知sinα＝，求的值．解：＝＝＝＝＝，当角α是第一象限角时，cosα＝，tanα＝＝，所以原式＝＝；当角α是第二象限角时，cosα＝－，tanα＝＝－，所以原式＝＝.14．已知sinθ＋cosθ＝，且0<θ<π.(1)求tanθ的值；(2)求的值．解：(1)因为sinθ＋cosθ＝，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，所以2sinθcosθ＝－<0，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ>0，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，所以sinθ－cosθ＝，②由①②得，sinθ＝，cosθ＝－，所以tanθ＝＝－.(2)法一：由(1)知sinθ＝，cosθ＝－，所以＝＝.法二：由(1)得tanθ＝－，所以原式＝＝＝.[C拓展探究]15．(2019·南昌检测)设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sinα，cosα是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数m满足条件，由题设得，Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①因为sinα<0，cosα<0，所以sinα＋cosα＝－m<0②，sinαcosα＝>0③.又sin2α＋cos2α＝1，所以(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1.把②③代入上式得－2×＝1，即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.因为m1＝2不满足条件①，舍去；因为m2＝－不满足条件③，舍去．故满足题意的实数m不存在．
