新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形练习 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲三角变换与解三角形1．(2016·课标全国丙改编)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝________.答案解析tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.2．(2016·天津改编)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________.答案1解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．3．(2016·上海)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为__________．答案，解析3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0，∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝，∴x＝，.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案8解析在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinBsinC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得，tanB＋tanC＝2tanBtanC.又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥2，∴≥2，∴tanAtanBtanC≥8.正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1(1)＝________.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝________.答案(1)(2)解析(1)＝＝＝sin30°＝.(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×(－)＝.所以β＝.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1(1)已知sin＝，cos2α＝，则sinα＝________.(2)若f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)(－≤θ≤)是定义在R上的偶函数，则θ＝________.答案(1)(2)－解析(1)由sin＝，得sinαcos－cosαsin＝，即sinα－cosα＝，①又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，因此cosα＋sinα＝－.②由①②得sinα＝.(2)f(x)＝2sin(x＋θ－)，由题意得θ－＝＋kπ(k∈Z)，因为－≤θ≤，所以k＝－1，θ＝－.热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.例2(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．解(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得＝＝.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法...