第2讲三角变换与解三角形1.(2016·课标全国丙改编)若tanα=,则cos2α+2sin2α=________.答案解析tanα=,则cos2α+2sin2α===.2.(2016·天津改编)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=________.答案1解析由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即13=AC2+9-2AC×3×cos120°,化简得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).3.(2016·上海)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为__________.答案,解析3sinx=2-2sin2x,即2sin2x+3sinx-2=0,∴(2sinx-1)(sinx+2)=0,∴sinx=,∴x=,.4.(2016·江苏)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是________.答案8解析在△ABC中,A+B+C=π,sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),由已知,sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,A,B,C全为锐角,两边同时除以cosBcosC得,tanB+tanC=2tanBtanC.又tanA=-tan(B+C)=-=.∴tanA(tanBtanC-1)=tanB+tanC.则tanAtanBtanC-tanA=tanB+tanC,∴tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2,∴≥2,∴tanAtanBtanC≥8.正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:1.边和角的计算;2.三角形形状的判断;3.面积的计算;4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”.2.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.例1(1)=________.(2)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β=________.答案(1)(2)解析(1)===sin30°=.(2)因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.又sinα=,所以cosα=,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×(-)=.所以β=.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.跟踪演练1(1)已知sin=,cos2α=,则sinα=________.(2)若f(x)=sin(x+θ)-cos(x+θ)(-≤θ≤)是定义在R上的偶函数,则θ=________.答案(1)(2)-解析(1)由sin=,得sinαcos-cosαsin=,即sinα-cosα=,①又cos2α=,所以cos2α-sin2α=,即(cosα+sinα)·(cosα-sinα)=,因此cosα+sinα=-.②由①②得sinα=.(2)f(x)=2sin(x+θ-),由题意得θ-=+kπ(k∈Z),因为-≤θ≤,所以k=-1,θ=-.热点二正弦定理、余弦定理1.正弦定理:在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA;变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=.例2(2015·课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,由(1)知AB=2AC,所以AC=1.思维升华关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法...