8.5椭圆[课时跟踪检测][基础达标]1.(2017年浙江卷)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.解析:由椭圆方程,得a2=9,b2=4. c2=a2-b2=5,∴a=3,c=,e==.答案:B2.(2017年全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.解析: 点A1,A2是椭圆的左、右顶点,∴|A1A2|=2a,∴以线段A1A2为直径的圆可表示为x2+y2=a2,该圆的圆心为(0,0),半径为a.又 该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,∴圆心(0,0)到直线bx-ay+2ab=0的距离等于半径,即=a,整理得a2=3b2.又 在椭圆中,a2=b2+c2,∴e===,故选A.答案:A3.曲线+=1与曲线+=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:c2=25-k-(9-k)=16,所以c=4,所以两个曲线的焦距相等.答案:D4.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.解析:设P(x0,y0),则有+=1,即4-x=y.①由题意知A1(-2,0),A2(2,0),设直线PA1的斜率为k1,直线PA2的斜率为k2,则k1=,k2=,所以k1·k2=.②由①②得k1·k2=-.因为k2∈[-2,-1],所以k1的取值范围为,故选B.答案:B5.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是()A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1解析: a=4,e=,∴c=3,∴b2=a2-c2=16-9=7. 焦点的位置不确定,∴椭圆的标准方程是+=1或+=1.答案:B6.焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析:如图,由椭圆的性质可知,AB=2c,AC=BC=a,OC=b,S△ABC=AB·OC=·2c·b=bc,S△ABC=(a+a+2c)·r=·(2a+2c)×=,∴=bc,a=2c,∴e==.答案:C7.椭圆C:+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M、N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2,则△PF1F2的周长是()A.2(+)B.+2C.+D.4+2解析:如图,因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OM∥PF2,且|OM|=|PF2|.同理,ON∥PF1,且|ON|=|PF1|,所以四边形OMPN为平行四边形.由题意知,|OM|+|ON|=,故|PF1|+|PF2|=2,即2a=2,a=.由a2=b2+c2,知c2=a2-b2=2,c=,所以|F1F2|=2c=2,故△PF1F2的周长为2a+2c=2(+),选A.答案:A8.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示.因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|==-42=8.由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆C的方程为+=1.答案:B9.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________.解析:满足MF1·MF2=0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,若其总在椭圆内部,则有cb>0)的右顶点为A,经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为________.解析:不妨设点P在第一象限,由对称性可得|OP|==,在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°,易得P,代入椭圆方程得,+=1,故a2=5b2=5(a2-c2),则=,所以离心率e=.答案:11.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若AF2=2F2B,AF1·AB=,求椭圆的方程.解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,...