数学思想专练(四)转化与化归思想题组1正与反的相互转化1.由命题“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的取值是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.1D.2C[命题“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命题,可知它的否定形式“任意x∈R,使e|x-1|-m>0”是真命题,可得m的取值范围是(-∞,1),而(-∞,a)与(-∞,1)为同一区间,故a=1.]2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A.B.C.D.D[甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用,故所求事件的概率为1-=.]3.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个值c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围为________.[如果在[-1,1]内没有值满足f(c)>0,则⇒⇒p≤-3或p≥,取补集为-3<p<,即为满足条件的p的取值范围.故实数p的取值范围为.]4.若椭圆+y2=a2(a>0)与连接两点A(1,2),B(3,4)的线段没有公共点,则实数a的取值范围为________.∪[易知线段AB的方程为y=x+1,x∈[1,3],由得a2=x2+2x+1,x∈[1,3],∴≤a2≤.又a>0,∴≤a≤.故当椭圆与线段AB没有公共点时,实数a的取值范围为∪.]5.已知点A(1,1)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.(1)求椭圆的两焦点坐标;(2)设点B是椭圆上任意一点,当|AB|最大时,求证:A,B两点关于原点O不对称.[解](1)由椭圆定义,知2a=4,所以a=2.所以+=1.2分把A(1,1)代入,得+=1,得b2=,所以椭圆方程为+=1.4分所以c2=a2-b2=4-=,即c=.故两焦点坐标为,.6分(2)证明:假设A,B两点关于原点O对称,则B点坐标为(-1,-1),7分此时|AB|=2,而当点B取椭圆上一点M(-2,0)时,则|AM|=,所以|AM|>|AB|.10分从而知|AB|不是最大,这与|AB|最大矛盾,所以命题成立.12分题组2函数、方程、不等式之间的转化6.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3]C.D.[3,+∞)C[f′(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥=,故选C.]7.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)单调递增,则不等式f(x+1)>f(1-2x)的解集为________.(-∞,0)∪(2,+∞)[ f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(x)是偶函数,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,又 f(x)是偶函数,∴不等式f(x+1)>f(1-2x)可化为f(|x+1|)>f(|1-2x|),∴|x+1|<|1-2x|,∴(x+1)2<(1-2x)2,解得x<0或x>2,故原不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).]8.(本小题满分12分)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1成立.[解](1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.1分令f′(x)=0,得x=ln2.2分于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)f′(x)-0+f(x)单调递减2-2ln2+2a单调递增3分故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),4分单调递增区间是(ln2,+∞),5分f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极大值.6分(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.7分由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.8分于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.9分于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).10分而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1成立.12分题组3主与次的相互转化9.设f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为________.(-∞,-1]∪[0,+∞)[ f(x)是R上的增函数,∴1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].①①式可化为(x-1)a+x2+1≥0,对a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,则解得x≥0或x≤-...