数学思想专练(四)转化与化归思想题组1正与反的相互转化1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2C[命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.]2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.B．C.D．D[甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－＝.]3．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________.[如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为.]4．若椭圆＋y2＝a2(a＞0)与连接两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a的取值范围为________．∪[易知线段AB的方程为y＝x＋1，x∈[1,3]，由得a2＝x2＋2x＋1，x∈[1,3]，∴≤a2≤.又a＞0，∴≤a≤.故当椭圆与线段AB没有公共点时，实数a的取值范围为∪.]5．已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B两点关于原点O不对称.[解](1)由椭圆定义，知2a＝4，所以a＝2.所以＋＝1．2分把A(1,1)代入，得＋＝1，得b2＝，所以椭圆方程为＋＝1．4分所以c2＝a2－b2＝4－＝，即c＝.故两焦点坐标为，．6分(2)证明：假设A，B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB|＝2，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则|AM|＝，所以|AM|>|AB|．10分从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．12分题组2函数、方程、不等式之间的转化6．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是()A.B．(－∞，3]C.D．[3，＋∞)C[f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1,4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1,4]上恒成立，因为y＝在[1,4]上单调递增，所以t≥＝，故选C.]7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)单调递增，则不等式f(x＋1)＞f(1－2x)的解集为________.(－∞，0)∪(2，＋∞)[ f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(x)是偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又 f(x)是偶函数，∴不等式f(x＋1)＞f(1－2x)可化为f(|x＋1|)＞f(|1－2x|)，∴|x＋1|＜|1－2x|，∴(x＋1)2＜(1－2x)2，解得x＜0或x＞2，故原不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．]8．(本小题满分12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1成立.[解](1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R．1分令f′(x)＝0，得x＝ln2．2分于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2－2ln2＋2a单调递增3分故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，4分单调递增区间是(ln2，＋∞)，5分f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值．6分(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.7分由(1)知当a＞ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0．8分于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R上单调递增.9分于是当a＞ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．10分而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1成立．12分题组3主与次的相互转化9．设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为________.(－∞，－1]∪[0，＋∞)[ f(x)是R上的增函数，∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．①①式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，则解得x≥0或x≤－...
