考点36双曲线一、选择题1.(2017·全国丙卷·理科·T5)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选B.由题意可得:=,c=3,又a2+b2=c2,解得a2=4,b2=5,则C的方程为-=1.【光速解题】根据渐近线方程可判断a0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0的距离为=,所以=c=2ae=2.⇒⇒3.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+∞)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.【解析】选C.由题意e2===1+,因为a>1,所以1<1+<2,则10,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【命题意图】本题是对双曲线基础知识的考查,要求考生通过离心率与渐近线找出a,b,c的关系,进而求出双曲线方程.【解析】选B.由题意得a=b,=1c=4,a=b=2⇒⇒-=1.5.(2017·天津高考文科·T5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1【命题意图】本题是对双曲线基础知识的考查,要求考生利用渐近线找出a,b,c的关系,进而求出双曲线方程.【解析】选D.由题意解得a2=1,b2=3,所以双曲线方程为x2-=1.【光速解题】由题意易得A(-1,),而双曲线的两条渐近线可表示为=0,因此将A(-1,)代入,满足=0,只有D项满足.故选D.6.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.B.C.D.【命题意图】本题主要考查双曲线的图象和性质.【解题指南】由双曲线方程求得F(2,0),结合PF与x轴垂直可得PF=3,最后由A的坐标是(1,3),求出△APF的面积.【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以|PF|=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D二、填空题7.(211.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.【解析】如图,=a,==b,因为∠MAN=60°,所以=b,==,所以tanθ==,又因为tanθ=,所以=,解得a2=3b2,e===.答案:【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线的顶点到渐近线的距离是.8.(2017·山东高考理科·T14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.【命题意图】本题考查双曲线渐近线的求法和抛物线的定义的应用,意在考查考生运算能力和分析问题、解决问题的能力.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,所以|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,可得y1+y2=p,联立方程,得-+1=0,由根与系数的关系得y1+y2=p,所以p=p,则=,=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【反思总结】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化.(2)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.9.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.【命题意...
