第2节空间几何体的表面积与体积1.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D.解析:B[如图,画出圆柱的轴截面AC=1,AB=,所以r=BC=,那么圆柱的体积是V=πr2h=π×2×1=π,故选B.]2.(2019·黄山市一模)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=×(底面圆的周长的平方×高),则由此可推得圆周率π的取值为()A.3B.3.1C.3.14D.3.2解析:A[ 圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=×(底面圆的周长的平方×高),∴×(2πr)2×h=πr2×h,解得π=3.故选A.]3.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54解析:B[当三棱锥D-ABC体积最大时,点D到平面ABC的距离最大,设△ABC的边长为a,由已知,a=6,设△ABC的中心为点E,则AE=BE=CE=2,设球心为点O,则r=OA=OB=OC=4,则OE==2,故D到平面ABC的距离最大值为OE+r=2+4=6.则VD-ABC=9×6×=18.]4.(2019·深圳市调研)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为()A.B.3πC.D.2π解析:A[如图,取BD的中点为E,BC的中点为O,连接AE,OD,EO,AO.因为AB=AD,所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD,所以AE⊥平面BCD.因为AB=AD=CD=1,BD=,所以AE=,EO=.所以OA=.在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为.所以该球的体积V=π×3=.]5.(2019·山东师大附中模拟)如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4,则这个圆锥的体积为()A.B.C.D.解析:C[作出该圆锥的侧面展开图,如图中阴影部分所示,该小虫爬行的最短路为PP′, OP=OP′=4,PP′=4,由余弦定理可得cos∠P′OP==-,∴∠P′OP=.设底面圆的半径为r,圆锥的高为h,则有2πr=×4,∴r=,h==,∴圆锥的体积V=πr2h=.]6.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为________.解析:设所给半球的半径为R,则棱锥的高h=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R,∴其体积为R3=,则R3=2,于是所求半球的体积为V=πR3=π.答案:π7.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.解析:取SC的中点O,连接OA,OB,因为SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,所以OA⊥平面SBC,设OA=r,VA-SBC=×S△SBC×OA=××2r×r×r=r3,所以r3=9⇒r=3,所以球的表面积为S=4πr2=36π.答案:36π8.(2019·银川市模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,此三棱锥的外接球的表面积的大小等于________.解析:如图所示,当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大,取AC的中点E,连接BE和DE,则BE⊥平面DAC,且AE=BE=CE=DE=,∴E是此三棱锥外接球的球心,且半径为;∴此三棱锥外接球的表面积为4π·2=2π.答案:2π9.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥E-ACD的侧面积.解:(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BE⊥AC.而BD∩BE=B,BD,BE⊂平面BED,所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AE⊥EC,所以在Rt...