第2节空间几何体的表面积与体积1．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.C.D.解析：B[如图，画出圆柱的轴截面AC＝1，AB＝，所以r＝BC＝，那么圆柱的体积是V＝πr2h＝π×2×1＝π，故选B.]2．(2019·黄山市一模)《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为()A．3B．3.1C．3.14D．3.2解析：A[ 圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，∴×(2πr)2×h＝πr2×h，解得π＝3.故选A.]3．(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12B．18C．24D．54解析：B[当三棱锥D－ABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大，设△ABC的边长为a，由已知，a＝6，设△ABC的中心为点E，则AE＝BE＝CE＝2，设球心为点O，则r＝OA＝OB＝OC＝4，则OE＝＝2，故D到平面ABC的距离最大值为OE＋r＝2＋4＝6.则VD－ABC＝9×6×＝18.]4．(2019·深圳市调研)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.B．3πC.D．2π解析：A[如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，所以AE＝，EO＝.所以OA＝.在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V＝π×3＝.]5．(2019·山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4，则这个圆锥的体积为()A.B.C.D.解析：C[作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP′， OP＝OP′＝4，PP′＝4，由余弦定理可得cos∠P′OP＝＝－，∴∠P′OP＝.设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2πr＝×4，∴r＝，h＝＝，∴圆锥的体积V＝πr2h＝.]6．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h＝R，底面正方形中有AB＝BC＝CD＝DA＝R，∴其体积为R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.答案：π7．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：取SC的中点O，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC，因为平面SCA⊥平面SCB，所以OA⊥平面SBC，设OA＝r，VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3，所以r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为S＝4πr2＝36π.答案：36π8．(2019·银川市模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于________．解析：如图所示，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，取AC的中点E，连接BE和DE，则BE⊥平面DAC，且AE＝BE＝CE＝DE＝，∴E是此三棱锥外接球的球心，且半径为；∴此三棱锥外接球的表面积为4π·2＝2π.答案：2π9．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥E－ACD的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.而BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt...
