课时作业41单位圆与三角函数线——基础巩固类——一、选择题1．下列命题中为真命题的是(B)A．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C．终边在第二象限的角是钝角D．终边相同的角必然相等解析：三角形的内角有可能是直角，属非象限角；终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故A，C，D都不正确．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在(A)A．x轴上B．y轴上C．直线y＝x上D．直线y＝x或y＝－x上解析：由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cosα＝±1，故角α的终边在x轴上．3．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是(A)A.B.C.D．[0，π]解析：如图，画出三角函数线sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin(－)＝cos(－)，sin＝cos，为使sinx≤cosx成立，则由图可得－≤x≤.4．函数y＝的定义域是(D)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析：由2cosx＋1≥0得cosx≥－，∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．5．角α的正弦值，余弦值和正切值分别为a，b，c，如果<α<，那么a，b，c的大小关系为(C)A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．a>c>b解析：如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT.∵<α<，∴|OM|<|MP|<|AT|，且有向线段OM，MP的方向与坐标轴负方向相同，切线AT与y轴正方向相同，∴tanα>cosα>sinα，即c>b>a.6．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是(D)A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝，所以α必为钝角．二、填空题7．利用单位圆，可得满足sinα<，且α∈(0，π)的α的集合为{α|0<α<或<α<π}．解析：如图所示．故使sinα<且α∈(0，π)的α的集合为{α|0<α<或<α<π}．8．已知|cosθ|＝－cosθ且tanθ<0，则lg(sinθ－cosθ)>0.(填“>”或“<”)解析：由|cosθ|＝－cosθ，得cosθ≤0.又tanθ<0，∴角θ的终边在第二象限，∴sinθ>0，cosθ<0.又由三角函数线可知sinθ－cosθ>1，∴lg(sinθ－cosθ)>0.9．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是∪.解析：∵点P在第一象限，∴由①知0<α<或π<α<.③由②知sinα>cosα，作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的α∈.④由③④得α∈∪.三、解答题10．利用三角函数线，比较下列各组三角函数值的大小．(1)sin与sin；(2)tan与tan.解：如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，则sin＝MP，tan＝AT.的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′.则sin＝M′P′，tan＝AT′.由图可知，MP>M′P′>0，AT
sin.(2)tansin1.2>sin1.5B．sin1>sin1.5>sin1.2C．sin1.5>sin1.2>sin1D．sin1.2>sin1>sin1.5解析：数形结合可知，C正确．13．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(C)A．a0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT.∴c1；(2)sin2α＋cos2α＝1.证明：如图，记角α的两边与单位圆的交点分别为点A，P，点A在x轴正半轴上，过点P作PM⊥x轴于点M，则sinα＝MP，cosα＝OM.(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，∴sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，∴sin2α＋cos2α＝1.
