常考问题18二项式定理及数学归纳法(建议用时：80分钟)1．求证：1＋2＋22…＋＋25n－1能被31整除．证明1＋2…＋＋25n－1＝＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C·31n－1…＋＋C·31＋C－1＝31n＋C·31n－1…＋＋C·31＝31·(31n－1＋C·31n－2…＋＋C)， 31n－1，C·31n－2…，，C都是整数，∴原式可被31整除．2．已知n的展开式的二项式系数之和比(a＋b)2n的展开式的系数之和小240，求n的展开式中系数最大的项．解由题意，得2n＝22n－240，∴22n－2n－240＝0，即(2n－16)(2n＋15)＝0.又 2n＋15＞0，∴2n－16＝0.∴n＝4.∴n＝4.又 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求4展开式中系数最大的项为第3项，即T3＝C()22＝6.3．已知(1＋x)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2…＋＋an(x－1)n(n∈N*)．(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3…＋＋an；(2)试比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，并说明理由．解(1)取x＝1，则a0＝2n；取x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3…＋＋an＝3n，所以Sn＝a1＋a2＋a3…＋＋an＝3n－2n.(2)要比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，即比较：3n与(n－1)2n＋2n2的大小．当n＝1时，3n＞(n－1)2n＋2n2；当n＝2,3时，3n＜(n－1)2n＋2n2；当n＝4,5时，3n＞(n－1)2n＋2n2.猜想：当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n＝4时结论成立．假设当n＝k(k≥4)时结论成立，即3k＞(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3，得3k＋1＞3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]．而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6＞0.所以3k＋1＞[(k＋1)－1]2k＋1＋2(k＋1)2.即n＝k＋1时结论也成立．所以当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2成立．综上得，当n＝1时，Sn＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，Sn＜(n－2)2n＋2n2；当n≥4，n∈N*时，Sn＞(n－2)2n＋2n2.4．(·泰州模拟)已知多项式f(n)＝n5＋n4＋n3－n.(1)求f(－1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．解(1)f(－1)＝0，f(2)＝17(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)＝＋＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数．∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．5．如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)…，，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2…＜＜yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3…，，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式．解(1)a1＝2，a2＝6，a3＝12；(2)依题意，得xn＝，yn＝·，由此及y＝3xn得2＝(an－1＋an)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．下面用数学归纳法予以证明：(1)当n＝1时，命题显然成立；(2)假定当n＝k时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即(ak＋1)2－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解之得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ak不合题意，舍去)，即当n＝k＋1时，命题也成立．所以an＝n(n＋1)(n∈N*)．6．(·苏州调研)对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k))＝3k.(1)证明：f(3k)＝3f(k)；(2)求f(3k－1)(k∈N*)的值；(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由...
