第2课时分析法课时过关·能力提升基础巩固1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案:A2.欲证2−√5<√6−√7成立,只需证()A.(2−√5)2<(√6−√7)2B.(2−√6)2<(√5−√7)2C.(2+√7)2<(√5+√6)2D.(2−√5−√6)2<(−√7)2解析:由分析法知,欲证2−√5<√6−√7,只需证2+√7<√6+√5,即证(2+√7)2<(√6+√5)2,故选C.答案:C3.要证明√3+√7<2√5,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.特殊值法D.其他方法答案:B4.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:√b2-ac<√3a索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0答案:C15.将下面用分析法证明a2+b22≥ab的步骤补充完整:要证a2+b22≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证,即证.由于显然成立,因此原不等式成立.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥06.用A,B,C和a,b,c分别表示△ABC的三个内角和三条边.求证:当tanAtanB>1时,△ABC为锐角三角形.证明要证△ABC为锐角三角形,只需证A,B,C均为锐角,只需证tanA,tanB,tanC均为正.因为tanAtanB>1,且A+B<π,所以tanA>0,且tanB>0.又因为tanC=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)¿tanA+tanBtanAtanB-1>0,所以A,B,C均为锐角,即△ABC为锐角三角形.7.已知a,b,m是正实数,且a
0,所以只需证a0.当a2<1,b2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.9.设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))证明方法一(分析法):要证a3+b3>a2b+ab2成立,即证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因为a+b>0,所以只需证a2-ab+b2>ab成立,即证a2-2ab+b2>0成立,即证(a-b)2>0成立.而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a≠b⇔a-b≠0(⇔a-b)2>0⇔a2-2ab+b2>0⇔a2-ab+b2>ab.注意到a,b∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).所以a3+b3>a2b+ab2.能力提升1.若a≥0,P¿√a+√a+7,Q¿√a+3+√a+4,则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:当x>0时,xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15¿x=1时,取等号).要使xx2+3x+1≤a恒成立,只需15≤a即可.故a≥15.4答案:[15,+∞)5.已知a>0,1b−1a>1.求证:√1+a>1√1-b.证明要证√1+a>1√1-b,只需证1+a¿11-b,只需证(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,所以a-b>ab.只需证a-bab>1,即1b−1a>1.由已知a>0,1b−1a>1成立,所以√1+a>1√1-b成立.6.已知a>0,用分析法求证:√a2+1a2−√2≥a+1a−2.证明要证√a2+1a2−√2≥a+1a−2,只需证√a2+1a2+2≥a+1a+√2.又a>0,故只需证(√a2+1a2+2)2≥(a+1a+√2)2,即要证a2+1a2+4√a2+1a2+4≥a2+2+1a2+2√2·(a+1a)+2,只需证2√a2+1a2≥√2(a+1a),只需证4(a2+1a2)≥2(a2+2+1a2),5即a2+1a2≥2.而此不等式显然成立,故原不等式成立.7.★已知2tanA=3tanB.求证:tan(A-B¿=sin2B5-cos2B.分析:观察条件与结论,结论中出现二倍角,可先把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A,此时将等式中的常数2化为2(sin2B+cos2B),可以发现等式中两边是关于sinB与cosB的二次式,再逆用公式tanB¿sinBcosB将弦化为切即可完成证明.证明因为2tanA=3tanB,所以tanA¿32tanB.要证tan(A-B¿=sin2B5-cos2B,只需证tanA-tanB1+tanAtanB=2sinBcosB5-(1-2sin2B),只需证12tanB1+32tan2B=2sinBcosB4+2sin2B,即证tanB2+3tan2B=sinBcosB2+sin2B,只需证tanB(2+sin2B)=(2+3tan2B)sinBcosB,只需证tanB(2cos2B+3sin2B)=(2+3tan2B)sinBcosB,只需证tanB(2+3·sin2Bcos2B)6=(2+3tan2B)·sinBcosBcos2B,即证tanB(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tanB.因为tanB(2+3tan2B)=(2+3tan2B)tanB显然成立,所以tan(A-B¿=sin2B5-cos2B成立.7
