第二章§2一、选择题1．在△ABC中，A＝，AB＝2，S△ABC＝，则BC的长为()A．B．7C．D．3[答案]C[解析] S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×AC×＝，∴AC＝1.则BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝22＋12－2×2×1×＝3∴BC＝，故选C．2．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为，则AB·AC的值为()A．2B．－2C．4D．－4[答案]A[解析]由题意，得S△ABC＝|AB|·|AC|·sinA＝×4×1×sinA＝，∴sinA＝，又 A∈(0，)，∴cosA＝.∴AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝4×1×＝2.3．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]A[解析]由题意得＝sinB＝，又 ∠B为锐角，∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝，∴∠A＝30°.4．(·新课标Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5[答案]D[解析]由倍角公式得23cos2A＋cos2A＝25cos2A－1＝0，cos2A＝，△ABC为锐角三角形cosA＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－b－13＝0，即5b2－12b－65＝0，解方程得b＝5.5．在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，下列结论：①a∶b∶c＝4∶5∶6②a∶b∶c＝2∶∶③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3cm④A∶B∶C＝4∶5∶6其中成立的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C．6．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则为()A．B．C．D．2[答案]B[解析]由bcsinA＝得c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，故a＝.所以＝＝，选B．二、填空题7．(·北京文，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________.[答案]2[解析]本题考查了余弦定理，同角基本关系式及正弦定理．c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×＝4，∴c＝2， cosC＝，∴sinC＝，由正弦定理得＝，∴sinA＝，在△ABC中，A∈(0，π)，所以sinA>0恒成立．8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．[答案][解析]在△ABC中，由余弦定理得：cosC＝＝＝，∴∠C＝30°.在△ADC中由正弦定理，得：＝，∴＝.故AD＝.三、解答题9．(·全国大纲)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝aC．(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C．[解析](1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－aC．由余弦定理cosB＝＝－，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝.故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.10．(·北京理，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解析](1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.一、选择题1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是()A．(8,10)B．(2，)C．(2，10)D．(，8)[答案]B[解析]若a是最大边，则，∴3≤a<.若3是最大边，则，∴3>a>，∴2
，故选D．3．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形[答案]B[解析] 2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B．4．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是()A．x>2B．x<2C．2
