【成才之路】-学年高中数学第2章空间向量与立体几何检测题A北师大版选修2-1时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是()A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量[答案]D[解析]只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．2．已知A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，令a＝CA，b＝CB，则a＋b对应的点为()A．(5，－9,2)B．(－5,9，－2)C．(5,9，－2)D．(5，－9，－2)[答案]B[解析]CA＝(－1,0，－2)，CB＝(－4,9,0)，故a＋b＝CA＋CB＝(－5,9，－2)．3．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，且a∥b则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°[答案]A[解析] |a|2＝2，|b|2＝2，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．4．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2[答案]A[解析]因为a∥b，所以存在实数k，使b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k)．所以所以或故选A.5．(·清华附中月考)已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°[答案]B[解析]由于AB＝AC＋CD＋DB，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝CD2＝1.cos〈AB，CD〉＝＝⇒〈AB，CD〉＝60°，故选B.6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列各结论中不正确的是()A．OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量B．OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量C．OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量D．OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量[答案]B[解析] OB－OC＝CB，OA1－OD1＝D1A1，由图知OB－OC与OA1－OD1是一对相等向量．7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]B[解析]连接A1B，BC1，A1C1，如图，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，选B.8．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2BA·ACB．2AD·BDC．2FG·CAD．2EF·CB[答案]B[解析]2BA·AC＝－2AB·AC＝－2a2cos60°＝－a2，2AD·BD＝2DA·DB＝2a2cos60°＝a2，2FG·CA＝AC·CA＝－a2,2EF·CB＝BD·CB＝－BD·BC＝－a2.9．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]以AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA＝1，则D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，PD＝(0,1，－1)，CD＝(－1,0,0)，设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，由，得，∴，令z＝1，则n＝(0,1,1)，显然平面PAB的一个法向量e＝(0,1,0)，cos〈n，e〉＝＝，∴〈n，e〉＝45°，∴二面角大小为45°.10．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1.M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1)B．C．D．[答案]C[解析] M在EF上，设ME＝x，∴M， A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)，∴ED＝(，0，－1)，EB＝(0，，－1)，AM＝.设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，由，得.故可取一个法向量n＝(1,1，)，有n·AM＝0，∴x＝1，∴M，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在b上的投影为________．[答案][解析]向量a在b上的投影为＝＝.12．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当AP·BP取最小值时，点P的坐标为________．[答案](，0,0)[解析]设P(x,0,0)，则AP＝(x－1，－2,0)，BP＝(x，－1,1)，AP·BP＝x(x－1)＋2＝(x－)2＋，∴当x＝时，AP·BP取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)．13．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，...
