【成才之路】-学年高中数学第2章空间向量与立体几何检测题B北师大版选修2-1时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若AE＝zAA1＋xAB＋yAD，则x＋y＋z的值为()A．1B．C．2D．[答案]C[解析] AE＝AB＋BE＝AB＋AA1＋AD.∴x＝1，y＝z＝，则x＋y＋z＝2，故选C.2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦值为，则λ等于()A．2B．－2C．－2或D．2或－[答案]C[解析]cos〈a，b〉＝＝＝，所以λ＝－2或.3．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝()A．14B．C．4D．2[答案]B[解析]|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，∴选B.4．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是()A．B．C．D．或[答案]D[解析]设所求向量为c＝(x，y，z)，则检验知选D.[点评]检验时，先检验A(或B)，若A不满足，则排除A、D；再检验B，若A满足，则排除B，C，只要看D是否成立．5．从平面β外一点P引与β相交的直线，使得P点与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是()A．0条B．1条C．2条D．无数条[答案]C[解析]当P到β的距离为1时，直线有1条，当P到β的距离在(0,1)之间时有无数条，当P到β的距离大于1时，无适合条件的直线．6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AC与AB的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)．设〈AB，AC〉＝θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°.7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．2B．C．D．1[答案]D[解析]本小题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解．连结AC交BD于O，连EO，则OE∥AC1.∴AC1到平面BED的距离，即为C1点到平面BED之距，又C1E＝CE且CC1∩平面BED＝E，∴C1点到平面BED之间距离等于C点到平面BED之距．又BD⊥平面ECO，∴平面BED⊥平面ECO，过C作CH⊥EO于H，则CH即为点C到平面BED之距，∴CH＝＝＝1.故选D.本题的关键点是过线面距转化为点面距，进而转化为点线距，体现了转化与化归的数学思想方法．8．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．75°[答案]A[解析]如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)，则CA＝(2a,0,0)，AP＝(－a，－，)，CB＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，所以〈CB，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.9．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A．B．C．D．[答案]A[解析]本题考查了空间向量与空间角．设CB＝1，则CA＝CC1＝2，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)， |BC1|＝，|AB1|＝3，BC1·AB1＝4－1＝3，∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝，故选A.10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()A．B．C．D．[答案]B[解析]解法一：取BC的中点E，连接AE，A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.如右图．因为A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥BC，又因为AB＝AC，所以AE⊥BC.所以BC⊥平面AEA1.所以BC⊥AF，又AF⊥A1E，所以AF⊥平面A1BC.所以AF的长即为所求点面距离．AA1＝1，AE＝，所以AF＝.故选B.解法二：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又因为A1B＝A1C＝，在Rt△A1BE中，A1E＝＝2.所以S△A1BC＝×2×2＝2.所以VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.所以h＝，所以h＝.h即为点A到平面A1BC的距离．故选B.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a＝________.[答案](1,1,1)或(－1，－1，－1)[解析]设a＝(x，y，z)，由题意得解得或∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．12．若空间三点A(1,5...
